Seminario di Metodi Matematici per i Sistemi Ambientali. Dinamica delle popolazioni: rudimenti di teoria qualitativa. Variazioni su un tema da un articolo di A. H. Kolmogorov

Si descrivono alcune proprietà qualitative elementari di quei sistemi dinamici che vengono proposti come modello dell'interazione fra preda e predatore. Si distingue fra procedure dato-centriche e modello-centriche. Viene data la definizione assiomatica di sistema dinamico; si delineano gli obiettivi della teoria qualitativa. In relazione ai punti critici si enuncia e si commenta il lemma di Morse. Si presentano le "variazioni su un tema di Volterra" come svolte da A. H. Kolmogorov in "Problemy Kibernetiki" nel 1972, che consistono in un sistema di due equazioni differenziali ordinarie non lineari. Le proprietà dei termini a destra in tali equazioni dànno luogo a diverse classi di sistemi. Di ciascuna classe, tramite la teoria qualitativa, si determinano i punti critici, il comportamento asintotico delle soluzioni, l'esistenza o no di orbite chiuse. A questo scopo occorrono la definizione di omega-limite ed il teorema di Poincaré-Bendixson. La presentazione si conclude con un altro esempio modello-centrico (applicato ad un ecosistema lacustre) e con un quesito dato-centrico (dalla macro-economia).