Moment based approximations for arithmetic averages with applications in derivative pricing, credit risk and Monte Carlo simulation

In this thesis we consider three different financial problems whose solution is related to the arithmetic average of some mean reverting stochastic process, whose distribution is unknown, precluding explicit and exact computations. We propose moment based approximations and examine applications in exotic derivatives pricing, credit risk and Monte Carlo simulation and show that this kind of solution can be very useful as able to reduce the computational cost with respect to alternative numerical methods, which are used as benchmark throughout this work. The first chapter of this thesis is devoted to provide some theoretical background on moment based approximations, including some basic facts on the so-called \textit{moment problem}, common approximations techniques, together with a literature review on the usage of moments in finance and numerical illustrations. In the second chapter, we propose accurate moment based approximation formulas for the price of Asian options in the case where the underlying's price is a mean reverting (with jumps) stochastic process. In the third chapter we introduce an efficient methodology, based on moment matching, for the calibration of the default intensity, which is modeled through an exponential Ornstein-Uhlenbeck process and apply this result to the calculation of Credit Value Adjustment (CVA) in presence of wrong way risk for interest rates derivatives. In the fourth chapter, we consider the problem of simulating stochastic volatility models. Exact simulation schemes have been proposed in literature for various models, but are computationally inefficient due to their dependence on the integral of the variance process, which is generally assumed to be mean reverting and whose distribution is unknown. In this case, we show how to compute the moments of such unknown distribution and develop a new simulation methodology which turns out to be much faster, from a computational point of view, than exact schemes, for a similar level of accuracy. The final chapter is different from the others as moments find only marginal application. We consider a double exponential jump diffusion model where the jump intensity is a stochastic process of Hawkes type. This kind of dynamics has been introduced in literature in order to model jump clustering phenomenon, widely observed in financial and commodity markets. We derive the characteristic function of the integral of log-returns and price geometric Asian options under such model.

In questa tesi consideriamo tre diversi problemi finanziari la cui soluzione è correlata alla media aritmetica di alcuni processi stocastici “mean-reverting”, la cui distribuzione è sconosciuta, impedendo calcoli espliciti ed esatti. Proponiamo approssimazioni basate sui momenti ed esaminiamo le applicazioni nell’ambito del pricing di derivati esotici, rischio di credito e simulazione Monte Carlo e dimostriamo che questo tipo di soluzione può essere molto utile in quanto in grado di ridurre il costo computazionale rispetto a metodi numerici alternativi, che sono usati come benchmark in questo lavoro. Il primo capitolo di questa tesi è dedicato a fornire un background teorico sulle approssimazioni basate sui momenti, inclusi alcuni fatti di base sul cosiddetto moment-problem, tecniche di approssimazioni comuni, insieme a una revisione della letteratura sull'uso dei momenti in finanza e illustrazioni numeriche. Nel secondo capitolo, proponiamo formule di approssimazione precise basate sui momenti per il prezzo delle opzioni asiatiche nel caso in cui il prezzo del sottostante sia un processo stocastico mean-reverting (con salti). Nel terzo capitolo introduciamo una metodologia efficiente, basata su moment matching, per la calibrazione dell'intensità di default, che è modellata attraverso un processo esponenziale di Ornstein-Uhlenbeck e applichiamo questo risultato al calcolo del Credit Value Adjustment (CVA) in presenza di Wrong Way Risk, nell’ambito di derivati sui tassi di interesse. Nel quarto capitolo, consideriamo il problema della simulazione dei modelli di volatilità stocastica. In letteratura sono stati proposti schemi di simulazione esatta per vari modelli, ma sono inefficienti dal punto di vista computazionale a causa della loro dipendenza dall'integrale del processo della varianza, che si presume generalmente sia mean reverting e la cui distribuzione è sconosciuta. In questo caso, mostriamo come calcolare i momenti di tale distribuzione sconosciuta e sviluppiamo una nuova metodologia di simulazione che risulta essere molto più veloce, dal punto di vista computazionale, rispetto agli schemi esatti, per un livello di precisione simile. Il capitolo finale è diverso dagli altri poiché i momenti trovano solo un'applicazione marginale. Consideriamo un modello “double exponential jump-diffusion” in cui l'intensità dei salti è un processo stocastico di tipo Hawkes. Questo tipo di dinamica è stata introdotta in letteratura al fine di modellare il fenomeno del “jump clustering”, ampiamente osservato nei mercati finanziari e delle materie prime. Deriviamo la funzione caratteristica dell'integrale dei log-rendimenti e troviamo formula per il pricing di opzioni asiatiche geometriche sotto tale modello.