Absolute parallelisms on almost complex manifolds

In almost complex manifolds (M⁴,J) of real dimension 4 it is interesting to study when it is possible to construct an absolute parallelism, namely when (M⁴,J) admits an {e}-structure. Although in general this is not true, on almost complex manifolds in which the image of the Nijenhuis forms a bundle, called fiber bundle, which is not integrable, there exists a double absolute parallelism. As a consequence, it results that the group of the automorphisms Aut(M⁴,J) of (M⁴,J) is a Lie group of dimension less or equal to 4, and its isotropy subgroup has at most two elements. Moreover it is possible to define a natural metric on (M⁴,J). When (M⁴,J) is locally homogeneous, the Lie algebra generated by the fields that determinate the double absolute parallelism allows us to classify these almost complex manifolds. In particular, the classification in the case when the Lie algebra is not solvable is introduced, while several examples are shown to explain how to make the classification when the algebra is solvable.

Nelle varietà quasi complesse (M4, J) di dimensione reale 4 risulta interessante studiare quando sia possibile costruire un parallelismo assoluto, ossia quando la varietà (M4, J) ammette una {e}-struttura. Nonostante in genere questo non accada, nelle varietà quasi complesse nelle quali l'immagine del tensore di Nijenhuis fornisca un fibrato, detto di torsione, che risulti non integrabile, esiste un doppio parallelismo assoluto. Come conseguenza risulta che il gruppo degli automorfismi Aut(M4, J) di (M4, J) è un gruppo di Lie di dimensione minore o uguale a 4, e il suo sottogruppo di isotropia ha al più due elementi. Inoltre è possibile definire una metrica naturale su (M4, J). Quando (M4, J) è localmente omogenea, l'algebra di Lie generata dai campi che determinano il doppio parallelismo assoluto permette di classificare tali varietà quasi complesse. In particolare, viene introdotta la classificazione nel caso in cui l'algebra di Lie sia non risolubile, mentre vengono mostrati diversi esempi su come eseguire la classificazione nel caso in cui l'algebra sia risolubile.