Hypercubical groups

Given a finitely generated group G with a finite generating set Σ, we associate to (G, Σ) a cube complex, the hypercubical complex of (G, Σ), that can be thought of as the cubical version of a flag complex, having the Cayley graph Γ(G, Σ) as 1-skeleton. G is hypercubical with respect to Σ if its hypercubical complex is contractible. From this we can deduce some consequences for the group. The aim of this thesis is to introduce the concepts of hypercubical complex of a group and hypercubical groups, and to introduce certain families of hypercubical groups. These families are RAAGs, oriented and twisted RAAGs (two generalizations of RAAGs), and the Borromean cube groups (a family defined inductively, starting from the link group of the Borromean rings). For these groups we will also use the hypercubical complex to deduce properties of cohomological nature.

Dati un gruppo finitamente generato G e un sistema finito di generatori Σ, associamo alla coppia (G, Σ) un complesso cubico, il complesso ipercubico di (G, Σ), che può essere visto come la versione cubica di un flag complex, avente come 1- scheletro il grafo di Cayley Γ(G, Σ). G è ipercubico rispetto a Σ se il suo complesso ipercubico è contraibile. Da questo possiamo dedurre alcune conseguenze per il gruppo. Lo scopo di questa tesi è di introdurre i concetti di complesso ipercubico di un gruppo e di gruppi ipercubici, e di introdurre alcune famiglie di gruppi ipercubici. Queste famiglie sono quelle dei RAAG, dei RAAG twisted e orientati (due generalizzazioni dei RAAG), e quella dei gruppi cubici di Borromeo (una famiglia definita induttivamente, partendo dal gruppo link degli anelli borromeiani). Utilizzeremo inoltre il complesso ipercubico di questi gruppi per dedurre proprietà di natura coomologica per essi.