On quadratically defined Lie algebras and their subalgebras

This thesis focuses on characterizing a specific class of Lie algebras that share a significant cohomological trait with absolute Galois groups of fields. The affirmative solution of the longstanding Bloch-Kato conjecture reveals that closed subgroups of maximal pro-$p$ quotients $G_k(p)$ of absolute Galois groups of fields $k$ containing primitive $p$th roots of $1$ have quadratic $\mathbb F_p$-cohomology — i.e., their $\mathbb F_p$-cohomology rings are generated by elements of degree $1$, subjected to relations of degree $2$—, leading to the designation of such groups as Bloch-Kato pro-$p$ groups. It has also been conjectured by I. Efrat that, if $G_k(p)$ is finitely generated, then it has a specific structure, namely, it is of elementary type, meaning that it can be obtained by iteratively performing certain semidirect products with the infinite cyclic pro-$p$ group $\mathbb Z_p$ and free pro-$p$ products by starting with Demu\v skin groups and the trivial group. Quadratic algebras hold significant importance in the cohomology theory of graded algebras, as they form the diagonal part of the bigraded cohomology ring. Notably, within the realm of quadratic algebras, there exists a well-behaved subset known as Koszul algebras, distinguished by their ability to admit linear free resolutions of the trivial module. In turn, this is equivalent to the fact that the cohomology ring is concentrated on its diagonal part. Computations of the cohomology of Koszul algebras are conveniently achieved through the so-called Koszul dual construction, involving straightforward linear-algebra computations. This advantageous feature makes Koszul algebras particularly amenable to cohomological analyses. Although not all quadratic algebras are Koszul, intriguingly, all currently known instances of Bloch-Kato groups do exhibit Koszul cohomology. This observation prompted T. Weigel and L. Positselski to propose a conjecture asserting that the cohomology of $G_k(p)$, as well as the restricted Lie algebra associated with the Zassenhaus filtration, are Koszul algebras. Additionally, these algebras are expected to be Koszul dual to each other, representing a captivating avenue of exploration in this research area. All groups of elementary type have been proved to satisfy this conjecture. In this thesis, we delve into the study of Bloch-Kato (BK) Lie algebras, a class of quadratic Lie algebras where subalgebras generated by elements of degree $1$ are also quadratic. These Lie algebras are demonstrated to be Koszul, and their cohomology rings are \textit{universally Koszul}. The thesis introduces novel tools for investigating quadratic Lie algebras through HNN-extensions and presents comprehensive characterizations of BK Lie algebras within specific classes of Lie algebras. In fact, the BK property is explored within the context of holonomy Lie algebras of hyperplane arrangements. To accomplish this, a new class of graded Lie algebras associated with simplicial complexes is introduced, enabling a more generalised treatment of holonomies and right-angled Artin Lie algebras. It turns out that, for this generalised class of holonomy Lie algebras, a Lie-version of the Elementary Type Conjecture holds true. However, we prove that all quadratic $2$-relator Lie algebras are BK, so that one cannot expect that the above conjecture holds true for all BK Lie algebras. Overall, this thesis contributes to a deeper understanding of quadratic Lie algebras and provides insights into the nature of Bloch-Kato Lie algebras and their cohomology.

Questa tesi si concentra sulla caratterizzazione di una particolare classe di algebre di Lie che condividono una significativa proprietà coomologica con i gruppi assoluti di Galois di campi. La soluzione affermativa della congettura di Bloch-Kato rivela che i sottogruppi chiusi dei quozienti pro-$p$ massimali dei gruppi assoluti di Galois $G_k(p)$ dei campi $k$ che contengono radici primitive $p$-esime dell'unità hanno coomologia quadratica su $\mathbb F_p$ — ovvero, i loro anelli di coomologia a coefficienti in $\mathbb F_p$ sono generati da elementi di grado $1$, soggetti a relazioni di grado $2$ —, portando alla designazione di tali gruppi come gruppi pro-$p$ di Bloch-Kato. È stato anche congetturato da I. Efrat che, se $G_k(p)$ è finitamente generato, allora ha una struttura specifica, ovvero è di tipo elementare: ciò significa che può essere ottenuto eseguendo iterativamente certi prodotti semidiretti con il gruppo pro-$p$ ciclico infinito $\mathbb Z_p$ e prodotti liberi pro-$p$ partendo dai gruppi Demu\v skin e dal gruppo banale. Le algebre quadratiche rivestono un'importanza significativa nella teoria delle coomologie delle algebre gradate, in quanto formano la parte diagonale dell'anello di coomologia bigraduato. In particolare, nel contesto delle algebre quadratiche, esiste una sottoclasse con un buon comportamento coomologico, note come algebre di Koszul, distinte dal fatto di ammettere risoluzioni lineari libere del modulo banale. A loro volta, ciò è equivalente al fatto che l'anello di coomologia è concentrato sulla sua parte diagonale. I calcoli della coomologia delle algebre di Koszul sono convenientemente realizzati attraverso la cosiddetta costruzione duale di Koszul, che coinvolge semplici calcoli di algebra lineare. Questa caratteristica vantaggiosa rende le algebre di Koszul particolarmente adatte alle analisi coomologiche. Sebbene non tutte le algebre quadratiche siano di Koszul, sorprendentemente, tutte le istanze attualmente conosciute dei gruppi di Bloch-Kato mostrano una coomologia con tale proprietà. Questa osservazione ha spinto T. Weigel e L. Positselski a proporre una congettura che afferma che la coomologia di $G_k(p)$, così come l’algebra di Lie ristretta associata alla filtrazione di Zassenhaus, siano algebre di Koszul. Inoltre, si prevede che queste algebre siano una la duale di Koszul dell'altra, rappresentando un'affascinante via di esplorazione in questo campo di ricerca. È stato dimostrato che tutti i gruppi di tipo elementare soddisfano questa congettura. In questa tesi, approfondiamo lo studio delle algebre di Lie di Bloch-Kato (BK), una classe di algebre di Lie quadratiche in cui le sottoalgebre generate da elementi di grado $1$ sono anch'esse quadratiche. Queste sono algebre di Lie di Koszul, e i loro anelli di coomologia soddisfano una certa proprietà di essere universalmente Koszul. La tesi introduce nuovi strumenti per investigare le algebre di Lie quadratiche attraverso le estensioni HNN e presenta caratterizzazioni complete delle algebre di Lie di BK all'interno di specifiche classi di algebre di Lie. Infatti, la proprietà BK è esplorata nel contesto delle algebre di Lie di olonomia di arrangiamenti di iperpiani. Per lo studio di tali algebre, viene introdotta una nuova classe di algebre di Lie graduate associate a complessi simpliciali, consentendo un trattamento più generalizzato di olonomie e delle cosiddette algebre di Lie RAAG. Risulta che, per questa classe generalizzata di algebre di Lie di olonomia, una versione per algebre di Lie della Congettura di Tipo Elementare è vera. Tuttavia, dimostriamo che tutte le algebre di Lie quadratiche con solo $2$ relatori sono di BK, quindi non ci si può aspettare che la suddetta congettura sia vera per tutte le algebre di Lie di BK.