The Zassenhaus p-restricted Lie algebra functor ​

In 1939, H. Zassenhaus introduced the dimension subgroups Dn(G) over a field of characteristic p, a specific type of composition series for a group G connected to the lower central series, along with the associated p-restricted graded Lie algebra L(G). Jennings and Lazard later demonstrated that for any group G, this series coincides with the fastest descending series starting at G and closed under commutators and p-powers. M. Lazard significantly contributed to elucidating the connection between pro-p groups and p-restricted Lie algebras. He established that a free pro-p group G, is finitely generated and free if and only if L(G) shares these properties. Furthermore, he proved that G is p-adic analytic if and only if L(G) is nilpotent. In 1966, J. P. May introduced a trigraded spectral sequence linking the homology of a locally finite, connected, filtered algebra to that of its associated graded algebra. A subsequent contribution came in 1980 when A. I. Lichtman demonstrated that the Zassenhaus p-restricted Lie algebra functor preserves free products. This thesis investigates the potent tool represented by this functor, consolidating existing knowledge and introducing new results. May’s technique is employed to construct a spectral sequence that establishes a relationship between the cohomology ring of L(G) for a finitely generated pro-p group G and that of G. This construction defines a class of pro-p groups whose spectral sequence collapses on the first page. We characterize such groups in terms of the lifting of minimal graded free resolutions of F as a gr(F[[G]])-module to minimal filtered free resolutions of F as an F[[G]], providing examples such as uniform or mild pro-p groups and proving closure under direct products and free products. The main result extends the pro-p version of Lichtman’s Theorem to the amalgamated free pro-p product of finitely generated pro-p groups with strongly embedded amalgam. This tool is applied to partially answer a question posed by S. Blumer, C. Quadrelli, and T. Weigel regarding the Zassenhaus p-restricted Lie algebra associated with an oriented right-angled Artin pro-p group.

Nel 1939, H. Zassenhaus introdusse i sottogruppi dimensionali Dn(G) su un campo di caratteristica p, un tipo specifico di serie di composizione per un gruppo G legato alla serie centrale inferiore, e insieme l’algebra di Lie p-ristretta graduata associata L(G). In seguito, Jennings e Lazard dimostrarono che per qualsiasi gruppo G, questa serie coincide con la serie discendente pi`u veloce chi inizia da G e chiusa per commutatori e potenze di p. Lazard contribu`ı significativamente a chiarire la connessione tra gruppi pro-p e algebre di Lie p-ristrette. Stabil`ı che un gruppo pro-p libero G `e finitamente generato e libero se e solo se L(G) condivide queste propriet`a. Inoltre, dimostr`o che G `e p-adicamente analitico se e solo se L(G) `e nilpotente. Nel 1966, J. P. May introdusse una successione spettrale trigradata che collega l’omologia di un’algebra localmente finita, connessa e filtrata a quella della sua algebra graduata associata. Un contributo successivo avvenne nel 1980 quando A. I. Lichtman dimostr`o che il funtore algebra di Lie p-ristretta di Zassenhaus preserva i prodotti liberi. Questa tesi investiga lo strumento potente rappresentato da questo funtore, consolidando le conoscenze esistenti e introducendo nuovi risultati. La tecnica di May viene utilizzata per costruire una successione spettrale che stabilisce una relazione tra l’anello di coomologia di L(G) per un gruppo pro-p finitamente generato G e quello di G. Questa costruzione definisce una classe di gruppi pro-p la cui successione spettrale collassa alla prima pagina. Caratterizziamo tali gruppi in termini di sollevamento di risoluzioni libere gradate minimali di F come modulo gr(F[[G]]) a risoluzioni libere filtrate minimali di F come F[[G]], fornendo esempi come gruppi pro-p uniformi o miti e dimostrando la chiusura sotto prodotti diretti e prodotti liberi. Il risultato principale estende la versione pro-p del Teorema di Lichtman al prodotto libero pro-p amalgamato di gruppi pro-p finitamente generati con un amalgama strettamente incluso. Questo strumento `e utilizzato per fornire una risposta, parziale ma positiva, a una domanda posta da S. Blumer, C. Quadrelli e T. Weigel riguardo all’algebra di Lie p-ristretta associata a un gruppo pro-p di Artin ad angolo retto orientato.