Derived Invariance of Higher Direct Image Sheaves of the Canonical Bundle

In this thesis we work on a problem which is an extension of the Kontsevich’s conjecture about the derived invariance of the Hodge numbers. We consider smooth projective complex irregular varieties, and we study the derived invariance of the cohomology ranks and the non-vanishing loci associated to higher direct image sheaves of the canonical bundle under the Albanese map. We prove that the derived invariance of the cohomology ranks of these objects are connected to the invariance of the associated vanishing loci. We extend a lot of different techniques from the work of Popa, Schnell, Pareschi and Caucci to establish the invariance of the top non-trivial higher direct image sheaf of the canonical bundle. We apply the previous results to prove a generic version of the invariance of the Hodge numbers in the case the Albanese fibre dimension is 2.

In questa tesi lavoriamo su un problema che è un'estensione della congettura di Kontsevich riguardo l'invarianza derivata dei numeri di Hodge. Consideriamo varietà irregolari complesse proiettive lisce e studiamo l'invarianza derivata dei ranghi di coomologia e dei luoghi di non-annullamento associati alle immagini dirette superiori del fascio canonico sotto la mappa di Albanese. Dimostriamo che l'invarianza derivata dei ranghi di coomologia di questi oggetti è collegata all'invarianza dei luoghi di non-annullamento corrispondenti. Estendiamo molte tecniche diverse usate da Popa, Schnell, Pareschi e Caucci per stabilire l'invarianza dell'immagine diretta superiore più alta non banale del fascio canonico. Applichiamo i risultati precedenti per dimostrare una versione generica dell'invarianza dei numeri di Hodge nel caso in cui la dimensione della fibra del morfismo di Albanese sia 2.