D-Complex Structures on Manifolds: Cohomological properties and deformations

We study some properties of Double Manifold, or D-Manifolds. In particular, we study of deformations of D-structures and of CR D-structures, and we found a condition which is equivalent to the classical Maurer-Cartan equation describing the integrability of the deformations. We also focus on the cohomological properties of D-Manifold, showing that a del-delbar-Lemma can not hold for any compact D-Manifold. We also state some properties of special subgroups of de-Rham cohomology, studing also their behaviour under small deformations. Finally, a result by Harvey and Lawson about the minimal Lagrangian Submanifold of a D-Kahler Ricci-flat manifold is generalized to the case of a special almost D-complex symplectic manifold.

In questa tesi studiamo alcune proprietà delle "Varietà Doppie" o D-Varietà. In particolare studiamo la teoria delle deformazioni di D-Strutture e di D-Strutture CR, e troviamo una condizione che è equivalente alla classica condizione di Maurer-Cartan che descrive l'integrabilità di deformazioni di D-Strutture. Successivamente prestiamo attenzione alla coomologia delle D-Varietà, provando che una versione D-complessa del del-delbar-Lemma non può essere vera per D-varietà compatte. Inoltre sono stabilite alcune proprietà di sottogruppi speciali della coomologia di de-Rham, ottenute studiando il loro comportamento sotto l'azione di deformazioni. Infine, un risultato riguardante le sottovarietà Lagrangiane minimali dovuto ad Harvey e Lawson riguardante le varietà D-Kahler Ricci-Piatte è generalizzato a una classe di varietà simplettiche quasi D-complesse.