Central limit theorems for polynomial chaos and fluctuations for 2d directed polymers

In this PhD Thesis, in collaboration with Professor Francesco Caravenna, we deal with a fundamental model in Statistical Mechanics, called 2d directed polymer in random environment. From a mathematical point of view, it is defined as a perturbation of the simple random walk on $Z^2$ given by a disorder, represented by a family of independent and identically distributed random variables. In particular, we study the asymptotic behaviour of the partition function associated with this model. This is also motivated by the close connection between the 2d directed polymer and the 2d Stochastic Heat Equation with multiplicative noise and the 2d Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) Equation, whose solution theory is still poorly understood for higher dimension. As a first contribution, we present a simple criterion, only based on second moment assumptions, for the convergence of polynomial or Wiener chaos towards a Gaussian limit. Since the directed polymer partition function and the mollified solution of the Stochastic Heat Equation can be respectively expressed by a polynomial and a Wiener chaos expansions, we then exploit this general criterion to recover already well-known Gaussian limits and also obtain new Gaussian asymptotics for the 2d directed polymer in the so-called subcritical regime. In particular, we present an alternative and more elementary proof for the Edwards-Wilkinson fluctuations of the rescaled, averaged and centered partition function, based on our novel Central Limit Theorem for polynomial chaos. Moreover, we verify a Gaussian limit for a singular product between the rescaled and centered partition function and the disorder. As a tool of independent interest, we derive an explicit chaos expansion which sharply approximates the logarithm of the partition function and which improves and recovers the log-normality of the partition function with fixed starting point. These results, which all hold in the subcritical regime, can also be applied to the KPZ and Stochastic Heat Equation. Then, together with Professor Francesco Caravenna and Professor Maurizia Rossi, we explore the asymptotic behaviour of the polymer partition function beyond the subcritical regime. In particular, we present a novel regime, called quasi-critical regime, which interpolates between the subcritical (where a deep understanding has by now been obtained) and the critical regime (where many key questions are still open). We show that the partition function (up to a suitable rescaling and centering) still exhibits Gaussian fluctuations. Our result identifies the most extended regime where Gaussian fluctuations can hold, before reaching the critical regime where they fail. To prove this convergence, it is necessary to modify the general Central Limit Theorem for polynomial chaos we obtained for the subcritical regime: this requires to derive a subtle estimate for the p-th moments of the partition function, based on non-trivial functional inequalities.

In questa tesi di Dottorato, in collaborazione con il Prof. Francesco Caravenna, ci occupiamo di un modello fondamentale in Meccanica Statistica, conosciuto in letteratura come chiamato polimero diretto in ambiente aleatorio in dimensione 2. Da un punto di vista matematico, questo modello è definito come una perturbazione della passeggiata aleatoria semplice su $Z^2$ data da un disordine, rappresentato da una famiglia di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite. In particolare, studiamo il comportamento asintotico della funzione di partizione associata a questo modello. Questo è ulteriormente motivato dalla stretta connessione tra il polimero diretto e l'Equazione del Calore Stocastica con rumore moltiplicativo e l'Equazione di Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), la cui teoria delle soluzioni è ancora poco conosciuta e rigorosa quando la dimensione spaziale è maggiore o uguale a 2. Come primo contributo, presentiamo un semplice criterio, basato solo su ipotesi legate al momento secondo, per la convergenza di caos polinomiali o di Wiener verso un limite gaussiano. Poiché la funzione di partizione del polimero diretto e la soluzione mollificata dell'Equazione del Calore Stocastica possono essere espresse rispettivamente da espansioni in caos polinomiale e in caos di Wiener, sfruttiamo questo criterio generale per verificare più semplicemente limiti gaussiani già noti e ottenere anche nuove convergenze gaussiane per il polimero diretto in dimensione 2 nel cosiddetto regime sottocritico. In particolare, presentiamo una dimostrazione alternativa e più elementare per le fluttuazioni di Edwards-Wilkinson della funzione di partizione riscalata, mediata e centrata, basata sul nostro nuovo Teorema Limite Centrale per caos polinomiali. Inoltre, verifichiamo un limite gaussiano per un prodotto singolare tra la funzione di partizione riscalata e centrata e il disordine. Ricaviamo poi un'espansione esplicita in caos polinomiale che approssima il logaritmo della funzione di partizione e che migliora e recupera la log-normalità della funzione di partizione con punto di partenza fissato. Questi risultati, tutti validi nel regime sottocritico, possono essere applicati anche all’equazione KPZ e all'Equazione del Calore Stocastica. Inoltre, insieme al Prof. Francesco Caravenna e alla Prof.ssa Maurizia Rossi, esploriamo il comportamento asintotico della funzione di partizione del polimero oltre il regime sottocritico. In particolare, presentiamo un nuovo regime, chiamato regime quasi-critico, che interpola il regime sottocritico (dove ormai è stata ottenuta una comprensione approfondita e generale) e il regime critico (dove molte questioni chiave sono ancora aperte). Dimostriamo che la funzione di partizione (a meno di riscalarla opportunamente e a meno di centrarla) presenta ancora fluttuazioni gaussiane. Il nostro risultato identifica il regime più esteso in cui le fluttuazioni gaussiane si verificano, prima di raggiungere il regime critico in cui vengono meno. Per dimostrare questo limite, è necessario modificare il Teorema Limite Centrale generale per caos polinomiali che abbiamo ottenuto per il regime sottocritico: per fare ciò, deriviamo una stima per i momenti p-esimi della funzione di partizione, basata su disuguaglianze funzionali non banali.