Mathematical Models of the Lymph Flow: Analysis and Simulations

The lymphatic system is an important component of the circulatory network, responsible for the transportation of interstitial fluid throughout the body. The interstitial fluid is called lymph when inside the lymphatics. The movement of lymph plays a key role in transporting immune cells, proteins, cancer metastasis, drugs, and so on. Moreover, impaired lymph transport can result in lymphoedema, a condition that consists of an accumulation of interstitial fluid in the tissues. The goal of this thesis is to develop mathematical models that describe the lymph behavior in the lymphatic system, in particular its flow through lymphangions and lymph nodes. We analyze these models, solve them explicitly in simplified geometries, and propose numerical simulations to handle more general scenarios. First of all, we propose a model of the lymph flow in a lymphangion, that is the part of the lymphatic vessel between two valves. Due to its geometry, we are able to develop a 1D model using the theory of quasilinear hyperbolic systems. Several models try to describe the lymph flow in a lymphangion; we proposed a model with a phenomenological description of the wall behavior, taking into account the shear stress inhibition and regulation phenomena related to the contractions. After that, we focus most of our attention to model the lymph flow through a lymph node because, to our knowledge, it has not been extensively explored from a mechanical perspective. Moreover, there is evidence that the lymph nodes are essential for regulating lymph transport due to the fluid exchange with the blood vessels within them. Indeed, secondary lymphoedema often results from damage to or removal of lymph nodes. Due to the complex structure and functioning of the lymph node, the attempt to describe the motion of the lymph within it has inspired us with some very interesting mathematical models which have been worth studying in detail.

Il sistema linfatico è una componente importante del sistema circolatorio, responsabile del trasporto del fluido interstiziale in tutto il corpo. Il fluido interstiziale si chiama linfa quando si trova all'interno del sistema linfatico. Il movimento della linfa svolge un ruolo chiave nel trasporto di cellule immunitarie, proteine, metastasi tumorali, farmaci e così via. Inoltre, un trasporto linfatico compromesso può causare linfedema, una patologia che consiste in un accumulo di fluido interstiziale nei tessuti. L'obiettivo di questa tesi è quello di sviluppare modelli matematici che descrivono il comportamento della linfa nel sistema linfatico, in particolare il suo flusso attraverso linfangioni e linfonodi. Analizziamo questi modelli, li risolviamo esplicitamente in geometrie semplificate e proponiamo simulazioni numeriche per affrontare scenari più generali. Innanzitutto proponiamo un modello del flusso linfatico in un linfangione, cioè la parte del vaso linfatico compresa tra due valvole. Grazie alla sua geometria, siamo in grado di sviluppare un modello 1D utilizzando la teoria dei sistemi iperbolici quasilineari. Diversi modelli tentano di descrivere il flusso linfatico in un linfangione; abbiamo proposto un modello con una descrizione fenomenologica del comportamento della parete, tenendo conto dei fenomeni di inibizione e regolazione dello shear stress legati alle contrazioni. Successivamente, ci concentriamo nel modellare il flusso linfatico attraverso un linfonodo perché, per quanto ci risulta, non è stato ampiamente esplorato da un punto di vista meccanico. Inoltre, alcune evidenze suggeriscono che i linfonodi sono essenziali per la regolazione del trasporto della linfa a causa dello scambio di fluidi con i vasi sanguigni al loro interno. In effetti, il linfedema secondario spesso deriva dal danneggiamento o dalla rimozione dei linfonodi. A causa della struttura e del funzionamento complessi del linfonodo, abbiamo elaborato alcuni modelli matematici interessanti per descrivere il movimento della linfa all'interno di esso, che è stato interessante approfondire.