Rationality of Boundaries

Rationality is a way to describe a function (or more in general a relation) via an automaton. The rational group is defined as the group of all homeomorphisms on the Cantor set that are described by asynchronous transducers. Many classes of groups embed in the rational group, one of them is the class of hyperbolic groups. In order to prove so, each hyperbolic group has a rooted tree (of atoms) associated to it and a quotient map from the boundary of the tree onto the Gromov boundary. Not so many connections between this tree and the literature on hyperbolic groups were known. The dissertation is divided into three parts. The first part consists of a study of the behavior of geodesic rays in the tree with respect to different semi-metrics defined starting from the hyperbolic group. In particular, the possible behaviors are similar to the ones we have in a hyperbolic Cayley graph: fellow traveler property and exponential divergence. This leads to several consequences, for instance one can bound from above the topological dimension of the Gromov boundary. The second and the third part are based on the first one. In the second part, we introduce a so-called augmented tree, starting from the tree of atoms, and we provide a quasi-isometry between the augmented tree and the Cayley graph. In the third part, we construct a synchronous recognizer which described the equivalence relation given by the quotient map. In this way, we prove that the relation is, in fact, a rational relation. All these results provide properties of the tree of atoms that resemble the ones of other trees that emerged in these contexts.

Il concetto di razionalità è legato alla possibilità di esprimere una funzione (o più in generale una relazione) tramite un automa. Il gruppo razionale è definito come il gruppo degli omeomorfismi sull’insieme di Cantor descritti da trasduttori asincroni. Questo gruppo contiene diverse classi di gruppi, in particolare i gruppi iperbolici. Per dimostrare ciò, ad ogni gruppo è stato associato un albero (detto albero degli atomi) con radice e una mappa quoziente dal bordo di quest’albero sul bordo di Gromov. Non erano, però, note molte connessioni tra questo albero e la letteratura sui gruppi iperbolici. La trattazione si divide in tre parti. La prima parte consiste nello studio del comportamento dei raggi geodetici dell’albero rispetto a diverse semi-metriche definite a partire dal gruppo iperbolico. In particolare, vengono ottenuti risultati simili a quelli riguardanti i raggi geodetici di un gruppo iperbolico: distanza limitata e divergenza esponenziale. Questo porta ad una serie di conseguenze, tra le quali la possibilità dare un limite dall’alto della dimensione topologica del bordo di Gromov. La seconda e la terza parte si basano sulla prima. Nella seconda parte viene introdotto un cosiddetto albero aumentato, a partire dall’albero degli atomi, e viene fornita una quasi-isometria tra questo e il grafo di Cayley del gruppo. Nella terza parte viene costruito un riconoscitore sincrono che descrive la relazione di equivalenza definita dalla mappa quoziente, dimostrando, di fatto, che la relazione è razionale. Questi risultati forniscono proprietà dell’albero degli atomi che richiamano quelle di altri alberi definiti in questi contesti.