The geometry of the Hessian locus: from a theorem of Gordan and Noether to cubic fourfolds, via Gorenstein rings

In this thesis, we will analyze the hessian locus associated to a projective hypersurface: the interest in algebraic geometry for such a topic has been alive for centuries. For example, in 1876 Gordan and Noether showed that a hypersurface X defined by a homogeneous polynomial f in a projective space of dimension at most 3 is a cone if and only if the hessian polynomial of f (i.e. the determinant of the Hessian matrix of f) is identically zero. In the first chapter of this thesis, we will give a new proof of this fundamental result due to Gordan and Noether: indeed, we will show a theorem, which, by classical theories, turns out to be equivalent to Gordan and Noether's result. We will prove this theorem with a very geometrical approach, despite the statement being characterized by a strong algebraic flavour: indeed it states the validity of some Lefschetz properties for specific standard Artinian Gorenstein algebras. The techniques used in this setting (as for example the construction and the description, through a suitable incidence variety, of a geometrical framework, which will be equivalent to the failure of a specific Lefschetz property) will be then improved and exploited in chapter 2, where we will show some Lefschetz properties for specific Gorenstein algebras, as Jacobian rings of smooth cubic hypersurfaces in a projective space of dimension 4 and 5 (i.e. cubic threefolds and cubic fourfolds). Finally, in chapter 3, we will analyze the Hessian hypersurface H(f) associated to a smooth cubic hypersurface X=V(f), i.e. H(f) is the zero locus of the hessian of f. By exploiting properties coming from some Gorenstein algebras and by using a natural identification between quadratic forms and points of the Hessian hypersurface, we will study the singular loci of H(f) and a natural desingularization for it. We will finally study the Hessian associated to a generic smooth cubic fourfold, by describing geometrical properties and birational invariants of the smooth surface over which the Hessian locus is singular; moreover, for such a surface, we will construct a natural unramified double cover, which will turn out to be also connected, by using tools coming from representation theory.

In questa tesi, verrà analizzato il luogo hessiano di ipersuperfici proiettive, che per molto tempo ha suscitato l'interesse di diversi studiosi nell'ambito della geometria algebrica. Ad esempio nel 1876 Gordan e Noether mostrarono che un'ipersuperficie X definita da un polinomio omogeneo f in uno spazio proiettivo di dimensione al più 3 è un cono se e soltanto se l'hessiano di f (cioè il determinante della matrice Hessiana di f) è identicamente nullo. Nel primo capitolo della tesi daremo una nuova dimostrazione di tale risultato: mostreremo, infatti, un teorema, che è, come classicamente noto, equivalente al risultato di Gordan e Noether. Tale teorema sarà dimostrato con un approccio assolutamente geometrico, nonostante sia caratterizzato da un aspetto decisamente algebrico: esso afferma infatti la validità di certe proprietà di Lefschetz per specifiche algebre Artiniane standard di Gorenstein. Le tecniche utilizzate in questo ambito (come la descrizione, tramite ad esempio un'opportuna varietà di incidenza, di un framework geometrico equivalente al fallimento di specifiche proprietà di Lefschetz) verranno dunque migliorate e sfruttate nel capitolo 2 per dimostrare alcune proprietà di Lefschetz per specifiche algebre di Gorenstein, come anelli Jacobiani di ipersuperfici cubiche lisce in uno spazio proiettivo di dimensione 4 e 5 (cubic threefold e cubic fourfold). Infine, nel capitolo 3, analizzeremo l'ipersuperficie Hessiana H(f) associata a un'ipersuperficie cubica liscia X=V(f), dove H(f) è quindi il luogo degli zeri del determinante della matrice Hessiana di f. Tramite strumenti derivanti dallo studio di certe algebre di Gorenstein e grazie a una naturale identificazione tra forme quadratiche e punti dell'ipersuperficie Hessiana, studieremo le singolarità di H(f) e una sua naturale desingolarizzazione. Analizzeremo infine l'Hessiana associata a un generico cubic fourfold liscio, descrivendo tramite proprietà geometriche e invarianti birazionali la superficie liscia su cui H(f) è singolare e costruendo per tale superficie un naturale ricoprimento doppio e non ramificato, che mostreremo anche essere connesso tramite strumenti di teoria delle rappresentazioni.