Killing spinors, extensions and metric diagonalization in pseudo-Riemannian geometry

In the thesis, I will prove new extension results to obtain pseudo-Riemannian manifolds of dimension n with a killing spinor from a manifold of dimension n-1 or n-3 with appropriate additional structure. I will also prove a generalization to the smooth, indefinite setting of a known result on the diagonalization of the metric on a 3-dimensinoal manifold. I will present a construction that revolves around z-standard Lie algebras, which are standard Lie algebras g ⋊ Span {e0} endowed with a Sasaki structure (g, ξ, η, φ) such that φ(e0) lies in the center z of g. There are two main results. The first one guarantees that a suitable central extension g of a nilpotent pseudo-Käler Lie algebra ˇg, admitting a derivation ˇD ∈ Der(ˇg) commuting with the complex structure and satisfying an additional technical condition, extends to a z-standard Sasaki Lie algebra of the form g ⋊D R, where D is a derivation of g extending ˇD. The second result specializes the first one to obtain z-standard pseudo-Sasaki-Einstein Lie algebras. I will also classify z-standard Sasaki Lie algebras up to dimension 7 obtained extending abelian pseudo-Kähler Lie algebras, Einstein-Sasaki z-standard Lie algebras up to dimension 7, and present examples of the construction in dimension 9. Moreover, I prove an extension result in the non-invariant, analytic setting. I obtain a pseudo-Riemannian spin manifold carrying a Killing spinor by extending a manifold endowed with a real or imaginary harmful structure, i.e., a pair of spinors (ψ, φ) satisfying a coupled PDE system involving a symmetric endomorphism A which is additionally required to satisfy d tr A + δA = 0. I prove that the metric of the manifold extends to an Einstein metric, in a space-like or time-like direction, depending on the harmful structure, whether it is real or imaginary, respectively. I point out that, in the definite setting, the condition on the endomorphism can be dropped. I then define the Killing spinor by extending the harmful structure by parallel transport. Finally, I prove that it is always possible to diagonalize the metric of a smooth, Lorentzian, 3-dimensional manifold by applying the technique of moving frames. I show that the existence of coordinates that diagonalize the metric is equivalent to the existence of a coframe satisfying a specific PDE system, hence I prove that the system is diagonal hyperbolic and that the associated Cauchy problem admits non-characteristic initial data.

Nella tesi, dimostro nuovi risultati di estensione per ottenere varietà pseudo-Riemanniane di dimensione n che ammettono uno spinore di Killing da una varietà di dimensione n-1 o n-3 con opportuna struttura. Dimostro anche una generalizzazione al caso liscio e indefinito di un risultato noto sulla diagonalizzazione di metriche su varietà 3-dimensionali. Presento una costruzione che si basa su algebre di Lie chiamate z-standard, che sono algebre di Lie standard g ⋊ Span {e0} dotate di una struttura Sasaki (g, ξ, η, φ) tale che φ(e0) giace nel centro z di g. Ci sono due risultati principali. Il primo garantisce che un'opportuna estensione centrale g di un'algebra di Lie pseudo-Käler nilpotente ˇg, la quale ammette una derivazione ˇD ∈ Der(ˇg) commutante con la struttura complessa e soddisfacente una condizione tecnica aggiuntiva, si estenda a un'algebra di Sasaki Lie z-standard della forma g ⋊D R, dove D è una derivazione di g che estende ˇD. Il secondo risultato specializza il primo per ottenere algebre di Lie pseudo-Sasaki-Einstein z-standard. Classificho anche le algebre di Sasaki Lie z-standard fino alla dimensione 7 ottenute estendendo le algebre di Lie pseudo-Kähler abeliane, le algebre di Lie z-standard di Einstein-Sasaki fino alla dimensione 7, e presenterò esempi della costruzione in dimensione 9. Inoltre, dimostro un risultato di estensione nel contesto analitico non invariante. Ottengo una varietà di spin pseudo-Riemanniana su cui è definito uno spinore Killing tramite l'estensione di una varietà dotata di una struttura "harmful" reale o immaginaria, cioè una coppia di spinori (ψ, φ) che soddisfa un sistema di PDE accoppiato che coinvolge un endomorfismo simmetrico A che è inoltre richiesto soddisfare d tr A + δA = 0. Dimostro che la metrica della varietà si estende a una metrica di Einstein, in una direzione di tipo spazio o di tipo tempo, a seconda che la struttura "harmful" sia reale o immaginaria, rispettivamente. Sottolineo che, in ambito definitivo, la condizione sull'endomorfismo può essere abbandonata. Definisco quindi lo spinore di Killing estendendo la struttura harmful mediante trasporto parallelo. Infine, dimostro che è sempre possibile diagonalizzare la metrica di una varietà tridimensionale liscia, Lorentziana, applicando la tecnica dei moving frame. Mostro che l'esistenza di coordinate che diagonalizzano la metrica è equivalente all'esistenza di un coframe che soddisfa uno particolare sistema di PDE, quindi dimostro che il sistema è diagonale iperbolico e che il problema di Cauchy associato ammette dati iniziali non caratteristici.