On totally geodesic subvarieties in the Torelli locus and their uniformizing symmetric spaces

This thesis deals with totally geodesic subvarieties of the moduli space A_g of principally polarized abelian varieties and their relation with the Torelli locus. This is the closure in A_g of the image of the moduli space M_g of smooth, complex algebraic curves of genus g via the Torelli map j: M_g-->A_g. The moduli space A_g is a quotient of the Siegel space, which is a Riemannian symmetric space. An algebraic subvariety of A_g is totally geodesic if it is the image, under the natural projection map, of some totally geodesic submanifold of the Siegel space. Geometric considerations lead to the expectation that j(M_g) should contain very few totally geodesic subvarieties of A_g. This expectation also agrees with the Coleman-Oort conjecture. The differential geometry of symmetric spaces is described through Lie theory. In particular, totally geodesic submanifolds can be characterized via Lie algebras. This motivates the discussion carried out in this thesis, in which we use some Lie-theoretic tools to investigate geometric aspects of the inclusion of j(M_g) in A_g. The main results presented are the following. In Chapter 2, we consider the pull-back of the Lie bracket operation on the tangent space of A_g via the Torelli map, and we characterize it in terms of the geometry of the curve. We use the Bergman kernel form associated with the curve. Also, we link the Bergman kernel form to the second fundamental form of the Torelli map. In Chapter 3, we determine which symmetric space uniformizes each of the known counterexamples to the Coleman-Oort conjecture via the computation of the associated Lie algebra decomposition. These known examples were obtained studying families of Galois coverings of curves. Chapter 4 focuses on these families for their own sake, and we describe a new topological construction of families of G-coverings of the line.

Oggetto di questa tesi sono le sottovarietà totalmente geodetiche dello spazio dei moduli A_g di varietà abeliane principalmente polarizzate e la loro relazione con il luogo di Torelli. Questo è definito come la chiusura in A_g dell'immagine dello spazio dei moduli M_g di curve algebriche complesse lisce di genere g tramite la mappa di Torelli j: M_g-->A_g. Lo spazio dei moduli A_g è un quoziente dello spazio di Siegel, che è uno spazio simmetrico. Una sottovarietà algebrica di A_g è totalmente geodetica se è l'immagine, tramite la naturale mappa di proiezione, di una qualche sottovarietà totalmente geodetica dello spazio di Siegel. Ci si aspetta che j(M_g) contenga poche sottovarietà totalmente geodetiche di A_g. Questo è anche in accordo con la congettura di Coleman-Oort. La geometria differenziale degli spazi simmetrici si può descrivere attraverso la teoria di gruppi e algebre di Lie. In particolare, le sottovarietà totalmente geodetiche di spazi simmetrici possono essere caratterizzate in termini di algebre di Lie. Queste considerazioni sono alla base della trattazione svolta in questa tesi, in cui utilizziamo alcuni strumenti della teoria di Lie per indagare alcuni aspetti geometrici dell'inclusione di j(M_g) in A_g. I principali risultati presentati sono i seguenti. Nel Capitolo 2, consideriamo il pull-back dell'operazione di Lie-bracket sullo spazio tangente ad A_g tramite la mappa di Torelli e lo caratterizziamo in termini della geometria della curva. Per farlo usiamo il nucleo di Bergman associato alla curva. Inoltre, colleghiamo il nucleo di Bergman alla seconda forma fondamentale della mappa Torelli. Nel Capitolo 3, determiniamo quale spazio simmetrico uniforma ciascuno dei controesempi noti alla congettura di Coleman-Oort attraverso il calcolo della decomposizione dell'algebra di Lie associata. Questi esempi noti erano stati ottenuti studiando famiglie di rivestimenti di Galois. Nel capitolo 4 ci concentriamo sullo studio di queste famiglie e descriviamo una nuova costruzione topologica di famiglie di G-rivestimenti di P^1.