Crystallographic Coxeter groups and Kac' denominator formula

This thesis explores the connection between a crystallographic Coxeter system (W,S) and the roots of an arbitrary Kac-Moody Lie algebra associated with a symmetrizable Generalized Cartan Matrix (GCM) with Weyl group W through the Kac' denominator formula. The formula is parametrized when we explicitly know the multiplicity of the roots of the Kac-Moody Lie algebra. The left hand-side of the Kac' denominator formula depends entirely on the Coxeter group. One of the most important goals is to calculate this left hand-side for crystallographic Coxeter groups with infty-decomposition. This is possible because the left hand-side can be reinterpreted with the complete growth series applied to the trace and using several facts on the complete growth series of crystallographic Coxeter groups with infty-decomposition. In Chapter 1 we show some properties of the cocycle that is in the left hand-side of the Kac' denominator formula. Kac' denominator formula has been already established for some classes of Coxeter groups. The class of Coxeter groups is split into three principal types: finite Coxeter groups, affine Coxeter groups and indefinite Coxeter groups. Kac' denominator formula has just been parametrized for finite and affine Coxeter groups and also for some indefinite Coxeter groups. Then we must work with the class of indefinite Coxeter groups. There is one class of indefinite Coxeter groups, the one of the so-called hyperbolic Coxeter groups. These groups have attracted much attention among the mathematicians in recent years. In Chapter 3 we spent much effort to represent the only one isomorphism class of cocompact crystallographic hyperbolic Coxeter groups as a cocompact arithmetic lattice of the orthogonal group of matrices with real entries that stabilizes a bilinear form of signature (3,1) and with positive entry in position (1,1). Then we also obtained a representation of the Coxeter group also in the special linear group of the matrices 2x2 with complex coefficients semidirect product with a particular external involution, using and computing a particular group isomorphism, said to be exceptional. Moreover we obteined a description of the root system of a Kac-Moody Lie algebra with this crystallographic Coxeter group as Weyl group. In general it is extremely difficult to determine or characterize all imaginary roots but thank to a construction of a linear map and to an important result of R. V. Moody about the roots of the hyperbolic Kac-Moody Lie algebras it is possible in this case. In Chapter 4 we study crystallographic Coxeter systems (W,S) with a spherically infty-decomposition. Our aim is to find an explicit formula for the left hand-side of the Kac' denominator formula for the crystallographic Coxeter groups with spherically infty-decomposition. We use the fact that this groups are free product of groups with amalgamation, therefore the elements have a unique expression in a canonical normal form. This allows to interpret the left-hand side of the Kac' denominator formula as a formal power series (called Cocycle series) of some elements of the ring of formal power series with coefficients in the group ring Z[W], where Z is the integer rings and W is the considered group.

Questa tesi esplora la connessione tra un sistema cristallografico di Coxeter (W, S) e le radici di un'algebra di Kac-Moody Lie arbitraria associata a una Matrice di Cartan Generalizzata simmetrizzabile con il gruppo Weyl W attraverso la formula del denominatore Kac. La formula è parametrizzata quando conosciamo esplicitamente la molteplicità delle radici dell'algebra di Kac-Moody Lie. Il lato sinistro della formula del denominatore Kac dipende interamente dal gruppo Coxeter. Uno degli obiettivi più importanti è quello di calcolare questo lato sinistro per i gruppi cristallografici di Coxeter con infty-decomposition. Ciò è possibile perché il lato sinistro può essere reinterpretato con la serie completa di crescita applicata alla traccia e utilizzando diversi fatti sulla serie di crescita completa dei gruppi di Coxeter cristallografico con infinita-decomposizione. Nel Capitolo 1 mostriamo alcune proprietà del cociclo che si trovano nella parte sinistra della formula del denominatore Kac. La formula del denominatore Kac è stata già stabilita per alcune classi di gruppi di Coxeter. La classe dei gruppi di Coxeter è divisa in tre tipi principali: finiti, affini e indefiniti. La formula del denominatore Kac è stata appena parametrizzata per gruppi di Coxeter finiti e affini e anche per alcuni gruppi di Coxeter indefiniti. Quindi dobbiamo lavorare con la classe di gruppi di Coxeter indefiniti. Esiste una classe di gruppi di Coxeter indefiniti, uno dei cosiddetti gruppi di Coxeter iperbolico. Questi gruppi hanno attirato molta attenzione tra i matematici negli ultimi anni. Nel Capitolo 3 abbiamo dedicato molto impegno a rappresentare l'unica classe di isomorfismo dei gruppi di coxeter iperbolici cristallografici cocompact come un reticolo aritmetico cocompatto del gruppo ortogonale di matrici con voci reali che stabilizza una forma bilineare di firma (3,1) e con entrata positiva in posizione (1,1). Poi abbiamo anche ottenuto una rappresentazione del gruppo di Coxeter anche nello speciale gruppo lineare delle matrici 2x2 con coefficienti complessi prodotto semidiretto con una particolare involuzione esterna, utilizzando e calcolando un particolare isomorfismo di gruppo, che si dice sia eccezionale. Inoltre abbiamo ottenuto una descrizione del sistema di radici di una algebra di Kac-Moody Lie con questo gruppo cristallografico di Coxeter come gruppo di Weyl. In generale è estremamente difficile determinare o caratterizzare tutte le radici immaginarie ma grazie a una costruzione di una mappa lineare e ad un risultato importante di R. V. Moody sulle radici delle algebre di Kac-Moody Lie iperboliche è possibile in questo caso Nel capitolo 4 studiamo i sistemi cristallografici di Coxeter (W, S) con una sferica infinita-decomposizione. Il nostro scopo è quello di trovare una formula esplicita per il lato sinistro della formula del denominatore Kac per i gruppi cristallografici di Coxeter con una sferica infinita-decomposizione. Usiamo il fatto che questi gruppi sono prodotti liberi di gruppi con amalgama, quindi gli elementi hanno un'espressione unica in una forma normale canonica. Ciò consente di interpretare il lato sinistro della formula del denominatore Kac come una serie di potenze formali (chiamate serie Cocycle) di alcuni elementi dell'anello della serie di potenze formali con coefficienti nell'anello del gruppo Z [W], dove Z è il anelli interi e W è il gruppo considerato.