Induction effects of torus knots and unknots

The induction effects due to a steady source field in the shape of a torus knot or unknot filament are analysed in detail. Similar studies for rectilinear, circular or helical geometries have been done in the past, but very little is known for more complex geometries and topologies. Torus knots provide a rare example of closed, space curves of non-trivial topology, that admit a mathematically simple description; for this reason they represent an interesting case study to consider. Moreover, since torus knots are also a good mathematical model for studying braided field line structures, the present work provides useful information for a wide range of possible applications, from physical sciences (solar physics and astrophysics, vortex dynamics, fusion physics) to technology (telecommunication, new materials design, data analysis). The work is organized in 4 chapters. In chapter 1 we present a comprehensive study of geometric and topological properties of torus knots and unknots. By using a standard parametrization, we demonstrate the existence, and determine the location, of inection points for a given critical configuration, and prescribe the condition for removing the singularity associated with torsion at the inflection point. We show that, to first approximation, total length grows linearly with the number of coils, and it is proportional to the minimum crossing number of the knot type. By taking the winding number, given by the ratio between meridian and longitudinal wraps, as measure of topological complexity of the knot, we analyse its influence on several global quantities, such as total length, curvature, torsion and writhe. In chapter 2 we analyse the influence of the winding number and other geometric properties on induction, energy and helicity. This is done by assuming the physical filament of infinitesimally small cross-section and by using the Biot-Savart law adapted for the particular parametrization chosen. Field line patterns of the induced field are obtained for a large family of knots/unknots on several cross-sectional planes. The intensity of the induced field is shown to depend linearly on the number of toroidal coils. We provide bounds on energy, and an estimate of helicity in terms of writhe. In chapter 3 we compare local and global induction contributions in relation to the winding number, by providing asymptotic expansions of the integrand function. We show that in general local leading order terms are not sufficient to provide accurate global information; nevertheless, for some values of the winding number local and global behaviours are found to be in good agreement. In chapter 4 we investigate the influence of the winding number on the binormal component of the self-induction a point asymptotically near to the source field. Since in the limit the Biot-Savart integral becomes singular, we apply the analytical prescription of Moore and Saffman (1972) to regularize it. While to leading order the self-induction is proportional to local curvature, we derive an integral formula for next terms, including higher order local terms together with non-local terms, and we study its dependence on the winding number by showing that the dominant contribution is generally given by non-local terms.

In questa tesi si analizzano gli effetti di induzione di un campo sorgente stazionario nella forma di un filamento a nodo o non-nodo torico. Studi simili sono stati compiuti per geometrie rettilinee, circolari o elicoidali, ma poco o nulla è noto per geometrie e topologie più complesse. I nodi torici sono un raro esempio di curve spaziali chiuse con topologia non banale che ammettono una descrizione matematicamente semplice; per questo rappresentano un interessante caso da studiare. Inoltre, poiché i nodi torici sono anche un buon modello matematico per studiare strutture di campo intrecciate, questo lavoro offre utili informazioni per svariate applicazioni possibili, dalle scienze fisiche (fisica del sole e astrofisica, dinamica vorticosa, fisica della fusione) alla tecnologia (telecomunicazioni, progettazione di nuovi materiali, analisi di dati). Il lavoro è organizzato in 4 capitoli. Nel capitolo 1 presentiamo uno studio esaustivo di proprietà geometriche e topologiche dei nodi/non-nodi torici. Usando una parametrizzazione standard, dimostriamo l'esistenza e determiniamo la posizione di punti di flesso per una data configurazione critica, e prescriviamo la condizione per rimuovere la singolarità associata alla torsione nel punto di flesso. Mostriamo che in prima approssimazione la lunghezza cresce linearmente con il numero di avvolgimenti ed è proporzionale al numero minimo di incroci. Prendendo il numero di avvolgimento, definito come rapporto tra gli avvolgimenti meridiani e quelli longitudinali, come misura di complessità topologica, ne analizziamo l'influenza su varie proprietà globali, quali lunghezza, curvatura, torsione totale e distorsione. Nel capitolo 2 analizziamo l'influenza del numero di avvolgimento e di altre proprietà geometriche su induzione, energia ed elicità. Per far questo si assume che il filamento fisico abbia sezione trasversale infinitesima e si usa la legge di Biot-Savart adattata alla particolare parametrizzazione scelta. Si studiano le linee di campo indotto per numerosi nodi/non-nodi torici su vari piani trasversali. Si mostra che l'intensità del campo indotto dipende linearmente dal numero di avvolgimenti longitudinali. Si forniscono maggiorazioni e minorazioni per l'energia e una stima dell'elicità in termini del numero di distorsione. Nel capitolo 3 compariamo i contributi d'induzione locali e globali in relazione al numero di avvolgimento, derivando espansioni asintotiche della funzione integranda. Mostriamo che i termini locali di ordine principale in generale non sono sufficienti a fornire accurate informazioni globali; tuttavia, mostriamo che per alcuni valori del numero di avvolgimento i comportamenti locali e globali sono in buon accordo. Nel capitolo 4 analizziamo gli effetti del numero di avvolgimento sull'auto-induzione per punti asintoticamente vicini al campo sorgente. Poiché al limite l'integrale di Biot-Savart diventa singolare, lo regolarizziamo applicando la prescrizione analitica di Moore e Saffman (1972). Mentre al primo ordine l'auto-induzione è proporzionale alla curvatura locale, determiniamo l'influenza del numero di avvolgimento sui termini successivi, mostrando che i suoi effetti sono comparabili con quelli dati da una distribuzione di campo sorgente sulla sezione trasversale finita del filamento.