Sorveglianza della matrice di varianze e covarianze di un portafoglio efficiente tramite la tecnica lasso

Nel mercato finanziario, la scelta ottimale di un portafoglio azionario ha come scopo principale quello di allocare nel miglior modo possibile le risorse a propria disposizione, massimizzando una funzione di utilità che prenda in considerazione sia il rendimento atteso (da massimizzare, a parità di rischio) sia il rischio di investimento (da minimizzare, a parità di rendimento), oppure entrambi gli aspetti simultaneamente. L’idea della tesi trae origine dal concetto di “sorveglianza statistica”, che si occupa di monitorare i pesi di un portafoglio ottimo, con l’applicazione delle tecniche di Statistical Process Control in ambito finanziario. Nel corso dell’elaborato ci si occupa di monitorare la matrice di varianze e covarianze dei rendimenti di titoli appartenenti a un portafoglio azionario, introducendo in particolare una tecnica di stima penalizzata basata sul metodo LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator), la quale permette di effettuare sia un’operazione di shrinkage che di variable selection tra i titoli, che consente, oltre ad una migliore allocazione del portafoglio stesso, anche una maggior comprensione del mercato azionario nel suo complesso, in un’ottica spazio-temporale. L’obiettivo è principalmente quello di applicare una metodologia alternativa alla stima della matrice di varianze e covarianze tra i rendimenti dei titoli componenti il portafoglio, al fine di monitorare la composizione del portafoglio stesso per supportare il processo decisionale dell’investitore e mettere in luce le dipendenze tra i titoli. I metodi di stima della matrice di varianze e covarianze sono molteplici e, nonostante l’utilizzo delle varianze e covarianze campionarie sembrerebbe la scelta più semplice e scontata, un’ampia letteratura riconosce che potrebbe non essere il metodo migliore. Nel mercato finanziario, in particolare, la presenza di un’alta correlazione (positiva) all’interno della matrice di varianze e covarianze campionaria può essere dovuta al fatto che i titoli appartengano tutti allo stesso mercato finanziario, rappresentato dall’indice FTSE MIB, il cui incremento/decremento porta ad un movimento simultaneo di tutti i titoli che lo compongono. Depurando l’effetto di mercato, si nota come le correlazioni parziali tra i titoli nel medesimo arco temporale tendono a smorzarsi, fino a una correlazione pressoché nulla tra un titolo che non appartiene al settore bancario e i titoli Intesa Sanpaolo e Unicredit, come ci si sarebbe potuti aspettare nella realtà, mentre rimane positiva la correlazione tra i due titoli bancari. L’utilizzo delle stime provenienti dal campione portano quindi, in alcuni casi, all’ottenimento di portafogli ottimali non plausibili, che hanno sviluppato, nel corso degli anni, l’esigenza di una varietà di tecniche alternative per la stima della matrice di varianze e covarianze, tra cui il “modello a un fattore”, il “modello a correlazione costante” ed i metodi di stima shrinkage. Tutti i metodi di stima shrinkage hanno come obiettivo quello di una migliore stima della matrice, effettuando una penalizzazione dei suoi elementi. L’idea di questo elaborato è quella di implementare tali tecniche con una metodologia che permetta di effettuare anche un’operazione di variable selection tra i titoli appartenenti al portafoglio. Per ottenere ciò è possibile usufruire di una tecnica nota in letteratura come LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) da applicare alla matrice di varianze e covarianze di un portafoglio azionario. L’algoritmo LASSO trae le sue origini dagli studi di Tibshirani, il quale propone l'utilizzo della metrica L1 come penalizzazione nell’ambito della regressione lineare. Il metodo LASSO può però essere applicato direttamente a una matrice di varianze e covarianze, risolvendo un problema rilevante nello studio dei modelli grafici gaussiani, in cui si analizza la struttura di una matrice sparsa. Per mostrare gli effetti che l’applicazione della tecnica LASSO produce sull’ottimizzazione di portafoglio è stato utile servirsi di uno strumento preso in prestito dalla Teoria dei grafi, che permetta di evidenziare le dipendenze tra i titoli azionari e la struttura del portafoglio ottimo. Attraverso i grafi, si nota come al variare del parametro di penalizzazione, si modifichino le interconnessioni tra i titoli presenti nel portafoglio o addirittura nell’intero mercato azionario. Nel contesto di ottimizzazione di portafoglio, la scelta del parametro ottimo proposta si discosta dalle note metodologie presenti in letteratura che utilizzano tecniche di cross-validation. Dato un portafoglio ottimo, come il Global Minimum Variance Portfolio (GMVP), l’obiettivo è quello di applicare un algoritmo LASSO tale per cui il portafoglio risultante, una volta modificata la struttura di dipendenza tra i titoli, si tramuti in un portafoglio con rendimento atteso maggiore o con una misura di rischio minore (o con entrambi gli aspetti simultaneamente) rispetto al portafoglio originario. Individuato il parametro di penalizzazione ottimo, l’analisi può essere poi svolta in un contesto dinamico, in cui, al variare del tempo, nuove osservazioni riguardanti il mercato azionario influenzano la composizione del portafoglio. Si è posta quindi l’attenzione al numero di connessioni che ogni titolo ha con i restanti titoli presenti nel portafoglio o, a maggior ragione, con l’intero mercato azionario. Grazie a questa analisi è stato possibile osservare interessanti dinamiche, come ad esempio il fatto che grandi gruppi bancari come Intesa Sanpaolo e Unicredit alla ripresa del mercato azionario, rappresentata da una forte crescita dell’indice FTSE MIB, reagiscono più velocemente, interrompendo bruscamente molte connessioni con il resto del mercato, connessioni che, generalmente, si è dimostrato tendere ad aumentare nei periodi di forte crisi. Il capitolo conclusivo ha come obiettivo quello di proporre un “ponte” tra le tecniche di stima mostrate e il concetto di sorveglianza statistica in ambito finanziario, tramite la costruzione di carte di controllo multivariate, al fine di identificare nel minor tempo possibile l'istante temporale in cui la struttura della matrice di varianze e covarianze subisca un brusco cambiamento, definito punto di rottura, a partire dal quale si può assumere che si sia modificata la struttura della matrice.