Regular non-semisimple Frobenius manifolds and other flat structures

Originated in the context of two-dimensional topological field theories, Frobenius manifolds lie at the intersection of several areas of mathematics, embracing integrable systems, algebraic geometry, singularity theory and many more. While most of the theory has been developed under some semisimplicity assumption, we pay our attention to the broader case governed by a milder assumption of regularity. We study regular non-semisimple Frobenius manifolds and other geometric structures progressively generalizing them: F-manifolds, flat F-manifolds and bi-flat F-manifolds. In particular, the main result of this thesis is the construction of a class of regular non-semisimple bi-flat F-manifolds related to integrable systems of hydrodynamic type, Nijenhuis geometry and the theory of Lauricella functions.

Originatesi nel contesto delle teorie di campo bidimensionali, le varietà di Frobenius sono punto di incontro tra diverse aree della matematica, includendo la teoria dei sistemi integrabili, la geometria algebrica, la teoria delle singolarità e molte altre. Mentre la maggior parte della teoria è stata sviluppata sotto una certa ipotesi di semi semplicità, la nostra attenzione si focalizza sul più ampio scenario governato dall’ipotesi meno restringente di una certa nozione di regolarità. Studiamo varietà di Frobenius regolari non semisemplici e altre strutture geometriche che le generalizzano progressivamente: F-varietà, F-varietà di tipo flat e F-varietà di tipo bi-flat. In particolare, il risultato principale di questa tesi è la costruzione di una classe di F-varietà regolari non segni semplici di tipo bi-flat legate a sistemi integrabili, alla geometria di Nijenhuis e alla teoria delle funzioni di Lauricella.