Extremal functions in AdS/CFT: black hole entropy, equivariant localization

Extremization problems are frequently encountered in AdS/CFT. Field theory observables such as central charges and sphere partition functions can be computed from extremal functions of the dual supergravity solution. The latter can be expressed in terms of topological quantities that naturally arise in the context of equivariant localization. A particularly interesting example of extremal functions are the entropy functions of AdS supersymmetric black holes, whose Legendre transform reproduces the Bekenstein-Hawking entropy. Focusing on the case of Kerr-Newman black holes asymptotically AdS_5 x SE_5, the superconformal index of the dual four-dimensional N=1 quiver theory can match the entropy function in the large-N limit. In the first part of this thesis we study the superconformal index of N=1 quiver theories at large-N for general values of electric charges and angular momenta, using both the Bethe Ansatz formulation and the more recent elliptic extension method. We are particularly interested in the case of unequal angular momenta which has only been partially considered in the literature. We revisit the previous computation with the Bethe Ansatz formulation with generic angular momenta and extend it to encompass a large class of competing exponential terms. In the process, we also provide a simplified derivation of the original result. We consider the newly-developed elliptic extension method as well; we apply it to the case of unequal angular momenta, finding a good match with the Bethe Ansatz results. We also investigate the relation between the two different approaches, finding in particular that for every saddle of the elliptic action there are corresponding terms in the Bethe Ansatz formula that match it at large-N. In the second part of this thesis we study extremal functions of supergravity solutions through the lenses of equivariant localization. Recently it has been proposed that a vast class of gravitational extremization problems in holography can be formulated in terms of the equivariant volume of the internal geometry, or of the cone over it. We substantiate this claim by analysing supergravity solutions corresponding to branes partially or totally wrapped on a four-dimensional orbifold, both in M-theory as well as in type II supergravities. We show that our approach recovers the relevant gravitational central charges/free energies of several known supergravity solutions and can be used to compute these also for solutions that are not known explicitly. Moreover, we demonstrate the validity of previously conjectured gravitational block formulas for M5 and D4 branes. In the case of M5 branes we make contact with a recent approach based on localization of equivariant forms, constructed with Killing spinor bilinears.

In AdS/CFT si incontrano frequentemente problemi di estremizzazione. Osservabili in teoria di campo come cariche centrali e funzioni di partizione sulla sfera possono essere calcolati a partire da funzioni estremali delle soluzioni di supergravità duali. Queste ultime possono essere espresse in termini di quantità topologiche che appaiono naturalmente nel contesto della localizzazione equivariante. Un esempio particolarmente interessante di funzioni estremali sono le funzioni d'entropia di buchi neri supersimmetrici in AdS, la cui trasformata di Legendre riproduce l'entropia di Bekenstein-Hawking. Focalizzandoci sul caso di buchi neri di Kerr-Newman asintoticamente AdS_5 x SE_5, l'indice superconforme della duale teoria quiver N=1 eguaglia la funzione d'entropia nel limite di grande-N. Nella prima parte di questa tesi studiamo l'indice superconforme di teorie quiver N=1 a grande-N per valori generali di cariche elettriche e momenti angolari, usando sia la formulazione Bethe Ansatz che il più recente metodo di estensione ellittica. Siamo particolarmente interessati al caso di momenti angolari diversi, che è stato considerato solo parzialmente nella letteratura. Rivisitiamo il precedente calcolo con la formulazione Bethe Ansatz a momenti angolari generici e lo estendiamo in modo da includere una vasta classe di termini esponenziali in competizione. Nel mentre semplifichiamo anche la derivazione del risultato generale. Consideriamo anche il recente metodo di estensione ellittica; lo applichiamo al caso di momenti angolari diversi, trovando un buon accordo con i risultati di Bethe Ansatz. Investighiamo anche la relazione tra i due diversi approcci trovando in particolare che per ogni sella dell'azione ellittica ci sono termini corrispondenti nella formula Bethe Ansatz che a grande-N li eguagliano. Nella seconda parte di questa tesi studiamo le funzioni estremali di soluzioni in supergravità attraverso le lenti della localizzazione equivariante. Recentemente è stato proposto che una vasta classe di problemi di estremizzazione gravitazionali in olografia possono essere formulati in termini del volume equivariante della geometria interna, o il cono sopra di essa. Convalidiamo questa asserzione analizzando soluzioni in supergravità che corrispondono a brane parzialmente o totalmente avvolte attorno un orbifold quattro-dimensionale, sia in teoria M che in supergravità di tipo II. Mostriamo che il nostro approccio riproduce le cariche centrali/energie libere gravitazionali di svariate soluzioni note in supergravità e può anche essere usato per calcolare queste quantità per soluzioni che non sono note esplicitamente. Inoltre, dimostriamo la validità di formule di blocchi gravitazionali precedentemente congetturate per M5 e D4 brane. Nel caso di M5 brane ci ricolleghiamo con un recente approccio basato sulla localizzazione di forme equivarianti costruite con i bilineari di Killing spinor.