In this thesis, we are going to present some results for some Partial Differential Equations, driven by fractional operators or set on a Riemannian manifold, in which for some reasons we have a loss of compactness, and the problem became demanding. The first problem we are going to analyse is the existence of solutions for the fractional Schrödinger equation with prescribed $L^2$-mass. Here the loss of compactness is caused by the invariance of $\R^N$ with respect to the non-compact group of translations. To solve the issue, we will use some Concentration-Compactness arguments introduced for the first time by P.L. Lions. The second equation we will take under examination is a fractional p-Kirchhoff type equation critical in the sense of Sobolev. The presence of the critical exponent prevents from having a functional associated to the problem that is sequentially weakly lower semicontinuous and that satisfies the Palais-Smale condition. The generalization to the fractional case of the second Concentration-Compactness Principle of P.L. Lions will be crucial to carry out our analysis. After these two problems, we will draw our attention to the Schrödinger equation set on Riemannian manifolds in two particular cases. The first one is on a non-compact Riemannian manifold with very general assumptions on the Ricci tensor, which are usually referred as asymptotically non-negative. In this case, we will deal the non-compactness of the manifold with a coercivity hypothesis on the potential in the differential operator. The second one is on a homogeneous Cartan-Hadamard manifold with a nonlinearity with an oscillating behaviour. Working on a Sobolev space where the functions have some "symmetries" will enable us to recover the compactness and prove the existence of infinitely many solutions. All the problems were studied in collaboration of my Ph.D. advisor Prof. Simone Secchi, Prof. Giovanni Molica Bisci from University of Urbino and Alessio Fiscella from University of Milano-Bicocca. The main chapters of this thesis are contained in 4 papers already published in peer-reviewed journals.

In questa tesi, presenteremo alcuni risultati per alcune equazioni differenziali alle derivate parziali, governate da operatori frazionari o ambientate su una varietà Riemanniana, in cui per qualche motivo si ha una perdita di compattezza, che rende il problema sotto esame impegnativo da studiare. Il primo problema che analizzeremo è l'esistenza di soluzioni per l'equazione di Schrödinger frazionaria con massa $L^2$ fissata. In questo caso, la perdita di compattezza è causata dall'invarianza di $\R^N$ rispetto al gruppo non compatto delle traslazioni. Per risolvere questo problema, utilizzeremo alcuni argomenti di concentrazione-compattezza introdotti per la prima volta da P.L. Lions. La seconda equazione che prenderemo in esame è un'equazione frazionaria di tipo p-Kirchhoff critica nel senso di Sobolev. La presenza di un esponente critico nel senso di Sobolev rende il funzionale associato al problema non (sequenzialmente) semicontinuo inferiormente in senso debole. Inoltre, in generale la condizione di Palais-Smale non è soddisfatta. La generalizzazione al caso frazionario del secondo principio di concentrazione-compattezza di P.L. Lions sarà fondamentale per svolgere la nostra analisi. Dopo questi due problemi, ci occuperemo dell'equazione di Schrödinger su varietà Riemanniane in due casi particolari. Il primo è su una varietà Riemanniana non compatta con un ipotesi molto generali sul tensore di Ricci, a cui spesso in letteratura si fa riferimento come asintoticamente non negativo. In questo caso, aggiriamo la non compattezza della varietà con un'ipotesi di coercitività sul potenziale dell'operatore differenziale. Il secondo è su una varietà omogenea di Cartan-Hadamard con una nonlinearità dal comportamento oscillatorio. In questo caso, lavorare su uno spazio di Sobolev in cui le funzioni hanno alcune "simmetrie" ci permetterà di recuperare la compattezza e di dimostrare l'esistenza di infinite soluzioni. Tutti i problemi sono stati studiati in collaborazione con il mio relatore di dottorato, il Prof. Simone Secchi, Prof. Alessio Fiscella dell'Università degli Studi di Milano-Bicocca e il Prof. Giovanni Molica Bisci dell'Università degli Studi di Urbino Carlo Bo. I capitoli principali di questa tesi sono contenuti in 4 articoli già pubblicati su riviste peer-reviewed.

(2023). Nonlinear equations with lack of compactness. (Tesi di dottorato, Università degli Studi di Milano-Bicocca, 2023).

Nonlinear equations with lack of compactness

APPOLLONI, LUIGI
2023

Abstract

In this thesis, we are going to present some results for some Partial Differential Equations, driven by fractional operators or set on a Riemannian manifold, in which for some reasons we have a loss of compactness, and the problem became demanding. The first problem we are going to analyse is the existence of solutions for the fractional Schrödinger equation with prescribed $L^2$-mass. Here the loss of compactness is caused by the invariance of $\R^N$ with respect to the non-compact group of translations. To solve the issue, we will use some Concentration-Compactness arguments introduced for the first time by P.L. Lions. The second equation we will take under examination is a fractional p-Kirchhoff type equation critical in the sense of Sobolev. The presence of the critical exponent prevents from having a functional associated to the problem that is sequentially weakly lower semicontinuous and that satisfies the Palais-Smale condition. The generalization to the fractional case of the second Concentration-Compactness Principle of P.L. Lions will be crucial to carry out our analysis. After these two problems, we will draw our attention to the Schrödinger equation set on Riemannian manifolds in two particular cases. The first one is on a non-compact Riemannian manifold with very general assumptions on the Ricci tensor, which are usually referred as asymptotically non-negative. In this case, we will deal the non-compactness of the manifold with a coercivity hypothesis on the potential in the differential operator. The second one is on a homogeneous Cartan-Hadamard manifold with a nonlinearity with an oscillating behaviour. Working on a Sobolev space where the functions have some "symmetries" will enable us to recover the compactness and prove the existence of infinitely many solutions. All the problems were studied in collaboration of my Ph.D. advisor Prof. Simone Secchi, Prof. Giovanni Molica Bisci from University of Urbino and Alessio Fiscella from University of Milano-Bicocca. The main chapters of this thesis are contained in 4 papers already published in peer-reviewed journals.
SECCHI, SIMONE
PDE's; Metodi Variazionali; Analisi su Varietà; Laplaciano Fraz.; Analisi non lineare
PDE's; Variational Methods; Global Analysis; Fractional Laplacian; Nonlinear Analysis
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Italian
5-mag-2023
35
2021/2022
open
(2023). Nonlinear equations with lack of compactness. (Tesi di dottorato, Università degli Studi di Milano-Bicocca, 2023).
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Descrizione: Nonlinear equations with lack of compactness
Tipologia di allegato: Doctoral thesis
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Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: https://hdl.handle.net/10281/414628
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