Global estimates and positivity preservation for some elliptic PDEs on Riemannian manifolds.

This dissertation deals with certain qualitative properties for the solutions of two elliptic problems on Riemannian manifold. In Part I, we focus on solutions to the Poisson equation and investigate the validity of first and second order global estimates, called respectively Lp-gradient and Calderón-Zygmund estimates. On complete non-compact manifolds, their validity might be strongly influenced by the large scale geometry. The systematic study of the Calderón-Zygmund theory was initiated in this setting by Güneysu and Pigola. Since then, geometric analysts have shown an increasing interest towards the topic, regarding positive results, counterexamples and interactions with other related issues. In Chapter 1 we prove a number of results ensuring the validity of Lp -gradient and Calderón-Zygmund estimates under mild geometric assumptions on the Ricci curvature or the injectivity radius. Often, we assume integral lower bounds on the Ricci tensor instead of the pointwise bounds that commonly appear in the literature. We observe the implications of these results for the theory of Sobolev spaces and prove equivalence between Calderón-Zygmund estimates and boundedness properties of the second order Riesz transform. In Chapter 2 we prove counterexamples to the Lp -gradient and Calderón-Zygmund estimates. First, we show the failure of these estimates on manifolds where the negative part of the curvature, although unbounded, grows as slow as desired. The other main contribution of this chapter is the construction of a complete, non-compact manifold with positive sectional curvatures which does not support the Lp -Calderón-Zygmund inequality for large p. This shows the non equivalence of Lp -gradient and Calderón-Zygmund estimates, thus answering to an open question in the literature. The results of the first chapter require various lower bounds on the Ricci curvature, whose optimality is testified by the above counterexamples. In Chapter 3, nontheless, by focusing on a special class of manifolds, we are able to prove some of these results even when the Ricci curvature explodes very fast at -∞, albeit in a controlled way. Namely, we consider Cartan-Hadamard manifolds with a polynomial pinching on the Ricci curvature and prove a density result for the space W2,p and the validity of an L2-Calderón-Zygmund inequality. The main tool in these proofs is a carefully constructed sequence of cutoff functions with a second order control. The second part the dissertation deals with positivity preservation properties of a Schrödinger operator. More precisely, a manifold has the Lp-positivity preserving property if all the distributional Lp solutions of (-\Delta + 1) u >= 0 are non-negative. This definition was introduced by Güneysu some twenty years ago although the notion, when p = 2, can be traced back to the work of Kato on the essential self-adjointness of Schrödinger operators with singular potential. The validity of the L∞-positivity preserving property, instead, is connected to the stochastic completeness of the manifold at hand. Chapter 4 is devoted to proofs of the Lp-positivity preserving property which rely on the existence of second order cutoffs. Using the cutoffs developed in Chapter 3, we prove the property for p>2 on Cartan-Hadamard with a polinomially pinched Ricci curvature. On manifolds with a subquadratic growth on the negative part of Ricci, the Lp-positivity preserving property is verified for any p in [1, +∞], thanks to similar cutoffs with a stronger, uniform second order control. In Chapter 5, we deal with the extremal cases p = 1 and p = +∞. Using a monotone approximation result, which is of independent interest, we prove that stochastic completeness is in fact equivalent to the validity of the L∞ -positivity preserving property. Finally, we exhibit a counterexample to the L1-positivity preserving property which shows sharpness of our subquadratic bound on the Ricci curvature.

L’oggetto di questa tesi è lo studio di alcune proprietà qualitative per le soluzioni a due problemi ellittici su varietà Riemanniane. Nella prima parte ci occupiamo di soluzioni all’equazione di Poisson e di loro stime globali al primo e secondo ordine, dette stime Lp-gradiente e di Calderón-Zygmund. Su varietà complete non compatte, queste stime sono influenzate dalla geometria all’infinito. In questo setting, lo studio sistematico della teoria di Calderón-Zygmund è stato avviato da Güneysu e Pigola. Conseguentemente, l’argomento ha attratto l’interesse di diversi analisti geometrici, sia riguardo a risultati positivi che controesempi. Nel primo capitolo dimostriamo la validità di stime Lp-gradiente e di Calderón-Zygmund sotto ipotesi relativamente deboli su tensore di Ricci e raggio di iniettività. Spesso, supponiamo bound di tipo integrale su Ricci al posto dei bound puntuali tipicamente presenti in letteratura. Osserviamo inoltre implicazioni che questi risultati hanno sulla teoria degli spazi di Sobolev e dimostriamo l’equivalenza tra disuguaglianze di Calderón-Zygmund e limitatezza della trasformata di Riesz locale al secondo ordine. Nel Capitolo 2 dimostriamo controesempi alla validità delle stime di gradiente e di Calderón-Zygmund. Innanzitutto, costruiamo controesempi a queste stime su varietà con la parte negativa della curvatura che, sebbene illimitata, cresce arbitrariamente lenta. Il secondo contributo di questo capitolo è la costruzione di una varietà non compatta con curvatura sezionale positiva che non ammette disuguaglianze di Calderón-Zygmund. Questo risultato mostra la non equivalenza delle stime gradiente e delle disuguaglianze di Calderón-Zygmund, rispondendo così a una domanda presente in letteratura. I risultati del primo capitolo richiedono vari tipi di bound dal basso su Ricci, la cui ottimalità è attestata dai precedenti controesempi. Nel Capitolo 3, tuttavia, concentrandosi su una classe specifica di varietà, riusciamo a dimostrare alcuni dei nostri risultati anche quando la curvatura di Ricci esplode velocemente all’infinito, sebbene in un modo controllato. Consideriamo delle varietà di Cartan-Hadamard con un pinching polinomiale su Ricci e dimostriamo un risultato di densità per lo spazio W2,p e la validità di una stima di Calderón-Zygmund L2. La strategia di queste dimostrazione si basa sulla costruzione di una famiglia di cutoff con un controllo al secondo ordine. La seconda parte di questa tesi è dedicata alle positivity preserving properties per un operatore di Schrödinger. Diciamo che una varietà ha la Lp-positivity preserving property, se tutte le soluzioni Lp nel senso delle distribuzioni di (-\Delta + 1) u >= 0 sono non negative. Questa definizione è stata introdotta da Güneysu una ventina di anni fa sebbene, nel caso p = 2, il concetto compaia già nei lavori di Kato sull’essenziale autoaggiunzione di operatori di Schrödinger con potenziali singolari. Il Capitolo 4 è dedicato a dimostrazione della Lp-positivity preserving property attraverso l’uso di funzioni di cutoff al secondo ordine. Usando i cutoff sviluppati nel Capitolo 3, dimostriamo la validità della proprietà per p>2 su varietà di Cartan-Hadamard con pinching polinomiale su Ricci. Su varietà con una crescita subquadratica della parte negativa di Ricci dimostriamo la Lp-positivity preserving property per tutti i p in [1,∞ ] grazie a cutoff simili con bound uniformi al secondo ordine. Nell’ultimo capitolo ci occupiamo dei casi estremali p = 1 e p = +∞. Usando un risultato di approssimazione monotona, il cui interesse è a sé stante, dimostriamo l’equivalenza tra completezza stocastica e L∞-positivity preserving property. Infine, esibamo un controesempio alla L1-positivity preserving property che dimostra l’ottimalità dei nostri bound subquadratici su Ricci.