EXTENDED VUZA CANONS

In this thesis, we deal with Tiling Rhythmic Canons, which are purely rhythmic contrapuntal compositions. Canons in music have a very long tradition; among these, a few cases of tiling rhythmic canons (i.e., canons such that, given a fixed tempo, at every beat exactly one voice is playing) have emerged. Only in the last century, stemming from the analogous problem of factorizing finite abelian groups, aperiodic tiling rhythmic canons have been studied: these are canons that tile a certain interval of time in which each voice (inner voice) plays at an aperiodic sequence of beats, and the sequence of starting beats of every voice (outer voice) is also aperiodic. From the musical point of view, the seminal paper was probably the four-part article written by D.T. Vuza between 1991 and 1993, while the mathematical counterpart of the problem was studied also before, e.g., by de Bruijn, Sands, etc., and after, e.g., by Coven and Meyerowitz, Jedrzejewski, Amiot, Andreatta, etc. A thorough theory of the conditions of existence and the structure of aperiodic tiling rhythmic canons has not been established yet. In this thesis, we try to give a contribution to this fascinating field. In Chapter 2, we present tiling rhythmic canons from a mathematical and algebraic point of view, focusing on their polynomial representation and reporting the fundamental results known in the literature. In Chapter 3, we deal with aperiodic rhythmic canons, that is canons in which in both rhythms there are no repeated inner structures: neither the inner nor the outer rhythm is obtained as a repetition of a shorter rhythm. From a mathematical point of view, they are the most interesting canons since they become a possible approach to solving the Fuglede conjecture on spectral domains. If one of the sets, say $A$, is given, it is well-known that the problem of finding a complement $B$ has, in general, no unique solution. It is very easy to find tiling canons in which at least one of the sets is periodic, i.e., it is built by repeating a shorter rhythm. In Chapter 4 we deal with the realization of two algorithms whose purpose is to find the complementary tiling rhythm of a given aperiodic rhythm in a certain period $n$. To enumerate all aperiodic tiling canons, one must overcome the problem that the combinatorial size of the domain becomes very soon enormous. The main contributions to the algorithmic approach to the problem are the Integer Linear Programming (ILP) model and the SAT Encoding to solve the Aperiodic Tiling Complements Problem. Using a modern SAT solver, we have been therefore able to compute the complete list of aperiodic tiling complements of some classes of Vuza rhythms for periods n = {180, 420, 900}.

In questa tesi ci occupiamo di Canoni Ritmici a Mosaico, che sono composizioni contrappuntistiche puramente ritmiche. I canoni nella musica hanno una tradizione molto lunga; tra questi emergono i canoni ritmici a mosaico (cioè, canoni tali che, dato un tempo, ad ogni battito suona esattamente una voce). Solo nel secolo scorso, a partire dall'analogo problema della fattorizzazione di gruppi abeliani finiti, sono stati studiati i canoni ritmici a mosaico aperiodici: si tratta di canoni che tassellano un certo intervallo di tempo in cui ciascuna voce (voce interna) suona su una sequenza aperiodica di battiti, e anche la sequenza dei battiti iniziali di ogni voce (voce esterna) è aperiodica. Dal punto di vista musicale, l'articolo fondamentale è stato probabilmente quello in quattro parti scritto da D.T. Vuza tra il 1991 e il 1993, mentre la controparte matematica del problema è stata studiata anche prima, ad esempio, da de Bruijn, Sands, ecc., e successivamente, ad esempio, da Coven e Meyerowitz, Jedrzejewski, Amiot, Andreatta, ecc. Non è stata ancora stabilita una teoria approfondita delle condizioni di esistenza e della struttura dei canoni ritmici a mosaico aperiodici. In questa tesi, cerchiamo di dare un contributo a questo affascinante campo. Nel capitolo 2, presentiamo i canoni ritmici a mosaico da un punto di vista matematico e algebrico, concentrandoci sulla loro rappresentazione polinomiale e riportando i risultati fondamentali noti in letteratura. Nel capitolo 3 ci occupiamo di canoni ritmici aperiodici, cioè di canoni in cui in entrambi i ritmi non vi sono strutture interne ripetute: né il ritmo interno né quello esterno si ottengono come ripetizione di un ritmo più breve. Da un punto di vista matematico, sono i canoni più interessanti in quanto diventano un possibile approccio per risolvere la congettura di Fuglede sui domini spettrali. Se viene fornito uno degli insiemi, diciamo $A$, è noto che il problema di trovare un complementare $B$ non ha, in generale, una soluzione univoca. È molto facile trovare canoni a mosaico in cui almeno uno degli insiemi è periodico, cioè è costruito ripetendo un ritmo più breve. Nel Capitolo 4 ci occupiamo della realizzazione di due algoritmi il cui scopo è trovare il ritmo complementare di un dato ritmo aperiodico in un certo periodo $n$. Per enumerare tutti i canoni a mosaico aperiodici, bisogna l’ostacolo della dimensione combinatoria del dominio che diventa ben presto enorme. I principali contributi all'approccio algoritmico al problema sono il modello ILP (Integer Linear Programming) e la codifica SAT per risolvere il problema dei complementari aperiodici. Utilizzando un moderno solutore SAT, siamo stati quindi in grado di calcolare l'elenco completo dei complementari aperiodici di alcune classi di ritmi di Vuza per periodi n = {180, 420, 900}.