Different approaches in Critical Point Theory for entire Schrödinger equations and one for curl-curl problems

The purpose of this thesis is to show the results obtained for three Schrödinger type elliptic partial differential equations. These equations, although sharing the feature of being entire, i.e. defined in the whole the space, have been approached with different methods, and for each a result of the existence of solutions has been provided. We emphasize that the last equation has a strong connection with Maxwell's equations. Problem 1) Let us consider a Schrödinger type equation, with convolutive potential and a perturbed and weighted nonlinearity copuling from quantum physics with Newtonian gravitation. If we consider this equation defined in all the space R2, we will obtain a logarithmic type potential, which makes the analysis more delicate, since the associated functional is not well defined. Therefore, a suitable variational setting must be introduced to show the well-posedness of the problem. Next, to manage the perturbation we use the perturbation technique of the critical point theory. Assuming suitable hypotheses on the weight function, the existence of local and global solutions is proved. Problem 2) The second equation is a Choquard type equation driven by a semirelativistic Schrödinger operator, defined in the whole space RN, where the potential has a singular part and a general nonlinearity is considered. Using the Fourier transform representation of the semirelativistic operator, it can be shown that the norm generated by the quadratic form associated with the problem is equivalent to the standard one. Thanks to an abstract result, we first prove the existence of a Cerami-sequence and then its boundedness. By adapting a Palais-Smale-sequence decomposition argument, the strong convergence of this sequence to a non-trivial critical point is then showed. Finally, an almost-characterization criterion is provided for the existence of ground-state solutions (i.e. solutions corresponding to the minimum energy level of the system). For these solutions, a compactness result is also given with respect to the singular term. Problem 3) An abstract infinite-dimensional linking-type Theorem is provided, which allows the study of strongly indefinite problems (i.e. the origin belongs to a spectral gap of the operator) and with general sign-changing nonlinearities. As an application, this Theorem is applied to a strongly indefinite Schrödinger equation with singular potential and sign-changing nonlinearity, defined in the whole space RN. For this equation the existence of a non-trivial solution is proved. By exploiting an equivalence result, the existence of a non-trivial solution is also provided for a curl-curl equation: this type of equations are closely related to Maxwell's equations.

Scopo di questa tesi è mostrare i risultati ottenuti per tre equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche di tipo Schrödinger. Queste equazioni, sebbene condividano la particolarità di essere definite in tutto lo spazio, sono state affrontate con diversi metodi, e per ognuna è stato fornito un risultato di esistenza di soluzioni. Rimarchiamo che l'ultima equazione ha un forte legame con le equazioni di Maxwell. Problema 1) Consideriamo un'equazione di tipo Schrödinger, con potenziale di tipo convolutivo ed una nonlinearità perturbata e pesata derivante dalla fisica quantistica con gravitazione Newtoniana. Se consideriamo questa equazione definita in tutto lo spazio R2, otterremo un potenziale di tipo logaritmico, che rende l'analisi più delicata, in quanto il funzionale associato non è ben definito. Va dunque introdotto un opportuno setting variazionale per dimostrare la buona positura del problema. Successivamente, per gestire la perturbazione utilizziamo la tecnica perturbativa della teoria dei punti critici. Assumendo opportune ipotesi sulla funzione peso, si dimostra l'esistenza di soluzioni locali e globali. Problema 2) La seconda equazione è un'equazione di tipo Choquard governata da un operatore semirelativistico di Schrödinger, dove il potenziale ha una parte singolare ed è presente una nonlinearità generale, definita in tutto lo spazio RN. Grazie alla rappresentazione mediante trasformata di Fourier dell'operatore semirelativistico, si può dimostrare che la norma generata dalla forma quadratica associata al problema è equivalente alla norma standard. Grazie ad un risultato astratto, si prova prima l'esistenza di una successione di Cerami e successivamente la sua limitatezza. Adattando un argomento di decomposizione per successioni di Palais-Smale, si dimostra poi la convergenza di questa successione ad un punto critico non banale. Infine, viene fornita una quasi-caratterizzazione per l'esistenza di soluzioni di tipo ground-state (i.e. soluzioni corrispondenti al livello di energia minima del sistema). Per queste soluzioni, è fornito anche un risultato di compattezza rispetto al termine singolare. Problema 3) Viene fornito un Teorema astratto di tipo linking infinito-dimensionale che permette lo studio di problemi fortemente indefiniti (cioè il punto origine appartiene ad un gap spettrale dell'operatore) e con nonlinearità generali di segno variabile. Come applicazione, questo Teorema viene applicato ad un'equazione di tipo Schrödinger fortemente indefinita con potenziale singolare e nonlinearità a segno variabile, definita in tutto lo spazio RN. Per questa equazione viene dimostrata l'esistenza di una soluzione non banale. Sfruttando un risultato di equivalenza, viene fornita l'esistenza di una soluzione nonbanale anche per un'equazione di tipo curl-curl: questo tipo di equazioni sono strettamente legate alle equazioni di Maxwell.