Results on Artin and twisted Artin groups ​

This thesis consists of three main chapters, and they all evolve around Artin groups. Proving results for all Artin groups is a serious challenge, so one usually focuses on particular subclasses. Among the most well-understood subfamilies of Artin groups is the family of right-angled Artin groups (RAAGs shortly). One can define them using simplicial graphs, which determine the group up to isomorphism. They are also interesting as there are a variety of methods for studying them, coming from different viewpoints, such as geometry, algebra, and combinatorics. This has resulted in the understanding of many problems in RAAGs, like the word problem, the spherical growth, intersections of parabolic subgroups, etc. In Chapter 2 we focus on the geodesic growth of RAAGs, over link-regular graphs, and we extend a result in that direction, by providing a formula of the growth over link-regular graphs without tetrahedrons. In Chapter 3 we work with slightly different groups, the class of twisted right-angled Artin groups (tRAAGs shortly). They are defined using mixed graphs, which are simplicial graphs where edges are allowed to be directed edges. We find a normal form for presenting the elements in a tRAAG. If we forget about the directions of edges, we obtain an underlying undirected graph, which we call the naïve graph. Over the naïve graph, which is simplicial, one can define a RAAG, which corresponds naturally to our tRAAG. We will discuss some algebraic and geometric similarities and differences between tRAAGs and RAAGs. Using the normal form we are able to conclude that the spherical and geodesic growth of a tRAAG agrees with the respective growth of the underlying RAAG. Chapter 4 has a different theme, and it consists of the study of parabolic subgroups in even Artin groups. The work is motivated by the corresponding results in RAAGs, and we generalize some of these results to certain subclasses of even Artin groups. ​

Questa tesi consiste in tre capitoli principali, e tutti si evolvono intorno ai gruppi di Artin. Dimostrare risultati per tutti i gruppi di Artin è una sfida seria, quindi di solito ci si concentra su particolari sottoclassi. Tra le sottofamiglie più conosciute dei gruppi di Artin c'è la famiglia dei gruppi Artin ad angolo retto (RAAGs in breve). Si possono definire usando i grafici simpliciali, che determinano il gruppo fino all'isomorfismo. Sono anche interessanti perché ci sono una varietà di metodi per studiarli, provenienti da diversi punti di vista, come la geometria, l'algebra e la combinatoria. Questo ha portato alla comprensione di molti problemi dei RAAG, come il problema delle parole, la crescita sferica, le intersezioni di sottogruppi parabolici, ecc. Nel Capitolo 2 ci concentriamo sulla crescita geodetica dei RAAG, su grafi link-regolari, ed estendiamo un risultato in quella direzione, fornendo una formula della crescita su grafi link-regolari senza tetraedri. Nel capitolo 3 lavoriamo con gruppi leggermente diversi, la classe dei gruppi Artin contorti ad angolo retto (tRAAGs in breve). Sono definiti usando grafi misti, che sono grafi semplici in cui i bordi possono essere diretti. Troviamo una forma normale per presentare gli elementi in un tRAAG. Se dimentichiamo le direzioni dei bordi, otteniamo un grafo non diretto sottostante, che chiamiamo grafo ingenuo. Sul grafo ingenuo, che è semplice, si può definire un RAAG, che corrisponde naturalmente al nostro tRAAG. Discuteremo alcune somiglianze e differenze algebriche e geometriche tra i tRAAG e i RAAG. Usando la forma normale siamo in grado di concludere che la crescita sferica e geodetica di un tRAAG concorda con la rispettiva crescita del RAAG sottostante. Il capitolo 4 ha un tema diverso, e consiste nello studio dei sottogruppi parabolici nei gruppi pari di Artin. Il lavoro è motivato dai risultati corrispondenti nei RAAG, e generalizziamo alcuni di questi risultati a certe sottoclassi di gruppi pari di Artin. ​