Aspects of dualities and symmetry enhancements in three and four dimensions

The low energy dynamics of quantum field theories can be characterized by several interesting non-perturbative phenomena. Among these, in this thesis we study infra-red dualities and global symmetry enhancements in three and four dimensions. We focus on supersymmetric theories, for which various exact computational tools are at our disposal. Of particular relevance is supersymmetric localization, which allows us to compute partition functions on various compact manifolds. These turn out to be invariant under the renormalization group flow and are thus powerful to probe dualities and symmetry enhancements. Moreover, one can also effectively study flows across dimensions through these supersymmetric partition functions. Equipped with these tools, in this thesis we investigate different perspectives on the program of finding and organizing dualities and symmetry enhancements in 3d and 4d. The approaches that we will employ combine several different concepts that appear in the study of supersymmetric theories. This first one is that we can flow across dimensions via spacetime compactifications. In this way we can find new dualities and symmetry enhancements, by either dimensionally reducing to lower dimensions or uplifting to higher dimensions some that are already known. Another possibility is to compactify a higher dimensional theory, like a 6d theory on a Riemann surface so to get a 4d theory, and use this geometric construction to predict and systematize dualities and symmetry enhancements. The last important ingredient that will play a role in our analysis consists of correspondences, in particular gauge/CFT correspondences relating partition functions of certein supersymmetric theories to correlation functions of some CFTs. These kind of correspondences can also be exploited to find new results on the gauge theory side from known results on the CFT side. In this thesis we discuss various examples of applications of these ideas. We first present a relation between 3d N = 2 dualities and identities for 2d CFT free field correlators, and we explain how this can be used to uplift known results about 2d free fields to new aspects of 3d theories. The second topic is the compactification of a particular 6d N = (1, 0) SCFT, known as the rank-N E-string theory, on Riemann surfaces with fluxes so to get 4d N = 1 theories. This construction allows us to predict dualities and symmetry enhancements from known properties of the 6d SCFT and geometric considerations. Finally, we discuss a new type of duality for 4d N = 1 theories that represents a higher dimensional ancestor of the well-known 3d mirror symmetry.

La dinamica a basse energie di teorie quantistiche di campo è spesso caratterizzata da diversi interessanti fenomeni non perturbativi. Di questi, nella presente tesi studieremo dualità infrarosse e enhancement di simmetrie globali in tre e quattro dimensioni. Ci concentreremo su teorie supersimmetriche, per le quali varie tecniche computazionali esatte sono disponibili. Particolarmente importante è la localizzazione supersimmetrica, la quale permette di calcolare funzioni di partizione su vari spazi compatti. Queste risultano essere invarianti sotto il flusso del gruppo di rinormalizzazione e per questo sono estremamente utili per investigare dualità ed enhancement di simmetria. Inoltre, con l'ausilio delle funzioni di partizione supersimmetriche è possibile studiare efficacemente flussi tra diverse dimensioni spaziotemporali. Equipaggiati di queste tecniche, in questa tesi investigheremo diversi punti di vista sul programma di trovare e organizzare dualità e enhancement di simmetria in 3d e 4d. Gli approcci che useremo coinvolgeranno diversi concetti che compaiono nello studio di teorie supersimmetriche. Il primo riguarda la possibilità di fluire tra diverse dimensioni attraverso compattificazioni dello spaziotempo. In questo modo è possibile trovare nuove dualità e enhancement di simmetria, sia riducendo dimensionalmente a dimensioni inferiori sia promuovendo a dimensioni superiori alcuni esempi già noti. Un'altra possibilità è quella di compattificare una teoria in un maggior numero di dimensioni, come per esempio una teoria 6d su una superficie di Riemann in modo da ottenere una teoria 4d, e di utilizzare questa costruzione geometrica per predirre e sistematizzare dualità e enhancement di simmetria. L'ultimo ingrediente che giocherà un ruolo importante nella nostra analisi è la corrispondenza gauge/CFT, la quale mette in relazione le funzioni di partizione di certe teorie supersimmetriche e le funzioni di correlazione di alcune CFT. Questo tipo di corrispondenze può essere sfruttato per trovare nuovi risultati in teorie di gauge partendo da risultati noti dal lato di CFT. In questo lavoro di tesi discuteremo diversi esempi di applicazione di queste idee. In primo luogo presenteremo una relazione tra dualità 3d N = 2 e identità per correlatori in teoria libera di CFT in 2d, e spiegheremo come essa può essere utilizzata per promuovere risultati noti in 2d a nuovi aspetti di teorie 3d. Il secondo tema affrontato sarà la compattificazione di una particolare SCFT 6d N = (1,0), nota come teoria E-string di rango N, su superfici di Riemann con flussi in modo da ottenere teorie 4d N = 1. Questa costruzione ci permetterà di predirre dualità e enhancement di simmetria partendo dalle note proprietà della teoria 6d e da considerazioni geometriche. Infine, discuteremo un nuovo tipo di dualità 4d N = 1 che rappresenta un antenato in una dimensione superiore della più nota mirror symmetry in 3d.