Appunti su teoria dei numeri, analisi di Fourier e distribuzione di punti

Con questo libro si vogliono raggiungere in modo ragionevolmente integrato tre obiettivi: 1 descrivere alcuni contenuti elementari di teoria dei numeri; 2 presentare diversi argomenti classici e avanzati sulle successioni uniformemente distribuite e sulla discrepanza delle successioni finite; 3 introdurre alcuni risultati di analisi di Fourier, motivandoli di volta in volta con specifiche applicazioni relative ai primi due punti. Al primo obiettivo è dedicata la Parte I, che contiene argomenti classici e inizia presentando qualche contenuto elementare e particolarmente suggestivo (il teorema di Tchebychev, i risultati elementari per il problema del cerchio di Gauss o per il problema dei divisori di Dirichlet, ...) che possa incoraggiare lo studio della teoria dei numeri, particolarmente negli studenti già appassionati all'analisi matematica. Al secondo obiettivo è invece rivolta la Parte II. Si inizia con le successioni uniformemente distribuite, introdotte nel 1916 da H. Weyl e collegate alla legge forte dei grandi numeri e al teorema di approssimazione di Kronecker. Si introduce poi la nozione di discrepanza, che considera l'aspetto quantitativo della distribuzione uniforme ed ha importanti applicazioni al calcolo di integrali in più variabili. Successivamente si considera la particolare distribuzione di punti costituita dalla restrizione di un reticolo, e si provano, con argomenti diversi, stime classiche per il problema del cerchio di Gauss e per il problema dei divisori di Dirichlet. Infine si presentano alcuni aspetti della teoria (geometrica) della discrepanza, chiamata anche irregolarità di distribuzione poiché alcuni dei suoi risultati più famosi sono formulazioni quantitative dell'impossibilità di approssimare in modo ottimale un oggetto continuo con un campionamento discreto. Questa teoria si è sviluppata negli ultimi sessanta anni, principalmente attraverso i contributi di J. van der Corput, K. Roth, W. Schmidt e J. Beck.