Reduced Fusion Systems on Sylow 3-subgroups of the Mclaughlin Group

Let p be a prime, and let S be a finite p-group. A fusion system on S is a category whose aim is to axiomatize and generalize the notions and fundamental properties of conjugation in finite groups. In order to study effectively fusion of groups via fusion systems, the “plain" definition of fusion system is not enough: adding some techincal conditions, one obtains the definiton of a saturated fusion system. A reduced fusion system is a particular saturated fusion system, with correspondes in some sense to simple groups. The current research on fusion systems concernes mainly the classification of saturated fusion systems on “small" p-groups. The goal of this Thesis is to contribute to this classification, by classifying all reduced fusion systems on a Sylow 3-subgroup S of the sporadic McLaughlin group. Moreover, we prove that there exist some exotic fusion systems on S (where a saturated fusion system on S is exotic if its morphisms can not be “induced" by conjugations with elements of a finite group containing S). Also, we show that the fusion systems which are not exotic are “induced" by certain finite almost simple groups containing S as Sylow 3-subgroup, and we determine such groups.

Siano p un numero primo, e S un p-gruppo finito. Un fusion system su S è una categoria, il cui obiettivo è assiomatizzare e generalizzare le nozioni e le proprietà fondamentali del coniugio in gruppi finiti. Per studiare in modo efficace la fusione di gruppi attraverso i fusion systems, la semplice definizione di fusion system non è sufficiente: aggiungendo delle condizioni tecniche, si ottiene la definizione di fusion system saturo. Un fusion system ridotto è un particolare fusion system saturo, che corrisponde “in qualche modo" ai gruppi semplici. Attualmente, la ricerca sui fusion systems riguarda principalmente la classificazione dei fusion systems saturi su p-gruppi “piccoli". L'obiettivo di questa Tesi è di contribuire a questa classificazione, classificando tutti i fusion systems ridotti su un 3-sottogruppo di Sylow S del gruppo sporadico di McLaughlin. Inoltre dimostriamo che esistono dei fusion systems esotici su S (dove un fusion system saturo è esotico se i suoi morfismi non “provengono" da coniugi con elementi di un gruppo finito che contiene S). Inoltre dimostriamo che i fusion systems che non sono esotici “provengono" da certi gruppi finiti quasi semplici che contengono S come 3-sottogruppo di Sylow, e determiniamo tali gruppi.